VÝPOČET APROXIMACÍ POMOCÍ DIFERENCIÁLU - MATEMATIKA - 2025

Přibližování v matematice je číslo, které není přesnou hodnotou něčeho, ale je tak blízko tomu, že je považováno za užitečné jako tato přesná hodnota.

Když se přibližování provádí v matematice, je to proto, že ručně je obtížné (nebo někdy nemožné) znát přesnou hodnotu toho, co chcete.

Hlavním nástrojem při práci s aproximacemi je rozdíl funkce.

Diference funkce f, označená Δf (x), není nic jiného než derivát funkce f krát změna nezávislé proměnné, tj. Δf (x) = f '(x) * Δx.

Někdy se místo Δf a xx používají df a dx.

Aproximace pomocí diferenciálu

Vzorec, který se používá k provedení aproximace prostřednictvím diferenciálu, vychází právě z definice derivátu funkce jako limitu.

Tento vzorec je dán:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Ax.

Zde se rozumí, že Δx = x-x0, proto x = x0 + Δx. Pomocí tohoto vzorce lze přepsat jako

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Je třeba poznamenat, že "x0" není libovolná hodnota, ale hodnota taková, že f (x0) je snadno známo; navíc „f (x)“ je pouze hodnota, kterou chceme aproximovat.

Existují lepší aproximace?

Odpověď je ano. Výše uvedené je nejjednodušší z aproximací zvaných "lineární aproximace".

Pro lepší kvalitu aproximace (chyba je menší) se používají polynomy s více deriváty zvanými „Taylorovy polynomy“, stejně jako jiné numerické metody, jako je Newtonova-Raphsonova metoda.

Strategie

Strategie, kterou je třeba dodržovat, je:

- Vyberte vhodnou funkci f pro provedení aproximace a hodnotu «x» tak, aby f (x) byla hodnota, která má být aproximována.

- Vyberte hodnotu „x0“ blízko „x“, takže f (x0) lze snadno spočítat.

- Vypočítejte Δx = x-x0.

- Vypočítejte derivaci funkce y f '(x0).

- Nahraďte data ve vzorci.

Řešené aproximační cvičení

V tom, co pokračuje, existuje řada cvičení, kde se aproximace provádí pomocí diferenciálu.

První cvičení

Přibližně √3.

Řešení

Podle strategie je třeba zvolit vhodnou funkci. V tomto případě je vidět, že zvolená funkce musí být f (x) = √x a hodnota, která má být aproximována, je f (3) = √3.

Nyní musíme vybrat hodnotu „x0“ blízkou „3“, takže f (x0) lze snadno spočítat. Pokud zvolíte "x0 = 2", máte, že "x0" je blízko "3", ale f (x0) = f (2) = √2 není snadné spočítat.

Příslušná hodnota "x0" je "4", protože "4" je blízko "3" a také f (x0) = f (4) = -4 = 2.

Pokud "x = 3" a "x0 = 4", pak Δx = 3-4 = -1. Nyní přistoupíme k výpočtu derivátu f. To znamená, že f '(x) = 1/2 * √x, takže f' (4) = 1/2 * 4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Nahrazení všech hodnot ve vzorci, který získáte:

3 = f (3) 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Používáte-li kalkulačku, získáte √3≈1,73205… To ukazuje, že předchozí výsledek je dobrou aproximací skutečné hodnoty.

Druhé cvičení

Přibližně √10.

Řešení

Jako dříve je jako funkce vybrána f (x) = √xy, v tomto případě x = 10.

Hodnota x0 pro výběr této doby je "x0 = 9". Pak máme, že Ax = 10-9 = 1, f (9) = 3 a f '(9) = 1/2 2 = 9/2 * 3 = 1/6.

Při hodnocení ve vzorci se získá, že

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Pomocí kalkulačky se získá, že √10 ≈ 3,1622776… Zde je také vidět, že dobrá aproximace byla získána dříve.

Třetí cvičení

Přibližně √√10, kde ³√ označuje kořen krychle.

Řešení

Je zřejmé, že funkce použitá v tomto cvičení je f (x) = ³√x a hodnota „x“ musí být „10“.

Hodnota blízká "10" tak, že je znám její kořen krychle, je "x0 = 8". Pak máme, že Δx = 10-8 = 2 a f (x0) = f (8) = 2. Máme také to f '(x) = 1/3 * ³√x², a následně f' (8) = 1/3 * √√8² = 1/3 * √√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Nahrazením dat ve vzorci se získá, že:

√ 10 = f (10) 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Kalkulačka říká, že √√10 ≈ 2,15443469… Nalezená aproximace je tedy dobrá.

Čtvrté cvičení

Přibližně ln (1.3), kde "ln" označuje přirozenou logaritmickou funkci.

Řešení

Nejprve zvolíme jako funkci f (x) = ln (x) a hodnota "x" je 1,3. Nyní, když víme něco o logaritmické funkci, můžeme vědět, že ln (1) = 0, a dále "1" je blízko "1,3". Proto je zvoleno "x0 = 1", a tedy Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Na druhé straně f '(x) = 1 / x, takže f' (1) = 1. Při hodnocení v daném vzorci máme:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Pomocí kalkulačky máme to ln (1.3) ≈ 0,2662364… Takže provedená aproximace je dobrá.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometrie roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Počet (deváté vydání). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet s časnými transcendentními funkcemi pro vědu a techniku ​​(druhé vydání). Přepona.
9. Scott, CA (2009). Karteziánská rovinná geometrie, část: Analytické kuželosečky (1907) (dotisk ed.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.