OBDÉLNÍKOVÉ KOMPONENTY VEKTORU (S CVIKY) - MATEMATIKA - 2025

Tyto pravoúhlé složky vektoru jsou údaje, které tvoří tento vektor. K jejich určení je nutné mít souřadnicový systém, kterým je obecně kartézská rovina.

Jakmile máte vektor v souřadném systému, můžete vypočítat jeho komponenty. Jedná se o 2, horizontální komponentu (rovnoběžnou s osou X), nazývanou „komponenta na ose X“, a vertikální komponentu (rovnoběžnou s osou Y), nazvanou „komponenta na ose Y“.

Grafické znázornění pravoúhlých komponent vektoru

Aby bylo možné určit komponenty, je nutné znát určitá data vektoru, jako je jeho velikost a úhel, který tvoří s osou X.

Jak určit pravoúhlé komponenty vektoru?

K určení těchto složek musí být známy určité vztahy mezi pravými trojúhelníky a trigonometrickými funkcemi.

Na následujícím obrázku vidíte tento vztah.

Vztahy mezi pravoúhlými trojúhelníky a trigonometrickými funkcemi

Sinus úhlu se rovná kvocientu mezi mírou nohy oproti úhlu a mírou přepážky.

Na druhé straně je kosinus úhlu roven kvocientu mezi mírou nohy sousedící s úhlem a mírou přepážky.

Tečna úhlu se rovná kvocientu mezi mírou protilehlé nohy a mírou sousední nohy.

Ve všech těchto vztazích je nutné vytvořit odpovídající pravoúhlý trojúhelník.

Existují i ​​jiné metody?

Ano. V závislosti na poskytnutých datech se způsob výpočtu pravoúhlých složek vektoru může lišit. Dalším široce používaným nástrojem je Pythagorova věta.

Cvičení

Následující cvičení uvádějí do praxe definici pravoúhlých složek vektoru a výše popsaných vztahů.

První cvičení

Je známo, že vektor A má velikost rovnou 12 a úhel, který vytváří s osou X, má míru 30 °. Určete pravoúhlé komponenty uvedeného vektoru A.

Řešení

Pokud je obraz oceněn a jsou použity výše popsané vzorce, lze dojít k závěru, že složka v ose Y vektoru A je rovná

sin (30 °) = Vy / 12, a proto Vy = 12 * (1/2) = 6.

Na druhé straně máme komponentu na ose X vektoru A rovnou

cos (30 °) = Vx / 12, a proto Vx = 12 * (-3/2) = 6,3.

Druhé cvičení

Pokud má vektor A velikost rovnou 5 a složka na ose x je rovna 4, určete hodnotu složky A na ose y.

Řešení

Při použití Pythagorovy věty máme velikost čtverce vektoru A rovnou součtu čtverců dvou pravoúhlých komponent. To znamená, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Nahrazení zadaných hodnot musíte

5 = = (4) ² + (Vy) ², tedy 25 = 16 + (Vy) ².

To znamená, že (Vy) ² = 9 a následně Vy = 3.

Třetí cvičení

Pokud má vektor A velikost rovnou 4 a svírá s osou X úhel 45 °, určete pravoúhlé složky tohoto vektoru.

Řešení

Použitím vztahů mezi pravým trojúhelníkem a trigonometrickými funkcemi lze dojít k závěru, že složka na ose Y vektoru A je rovná

sin (45 °) = Vy / 4, a proto Vy = 4 * (-2/2) = 2√2.

Na druhé straně máme komponentu na ose X vektoru A rovnou

cos (45 °) = Vx / 4, a proto Vx = 4 * (-2/2) = 2√2.

Reference

1. Landaverde, FD (1997). Geometry (Reprint ed.). Pokrok.
2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (ilustrované vydání). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologický ČR.
5. Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearsonovo vzdělávání.