KONGRUENCE: SHODNÉ POSTAVY, KRITÉRIA, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Shoda v geometrii říká, že v případě dvou rovinách postavy mají na stejný tvar a rozměry, to jsou shodné. Například dva segmenty jsou shodné, když jsou jejich délky stejné. Stejně tak mají shodné úhly stejnou míru, i když nejsou v rovině orientovány stejným způsobem.

Termín „kongruence“ pochází z latinské kongruentie, jejíž význam je korespondence. Dvě shodné postavy tedy přesně odpovídají sobě.

Obrázek 1. Kvadrilaterály ABCD a A'B'C'D 'na obrázku jsou shodné: jejich strany mají stejnou míru, jako jejich vnitřní úhly. Zdroj: F. Zapata.

Pokud například překrýváme dva kvadrilaterály v obraze, zjistíme, že jsou shodné, protože uspořádání jejich stran je stejné a měří to samé.

Umístěním čtyřúhelníků ABCD a A'B'C'D 'na sebe se čísla přesně shodují. Shodné strany se nazývají homologní nebo odpovídající strany a symbol ≡ se používá k vyjádření shody. Můžeme tedy říci, že ABCD „A'B'C'D“.

Kritéria shodnosti

Následující charakteristiky jsou společné pro shodné polygony:

- Stejný tvar a velikost.

-Identická měření jejich úhlů.

- Stejné opatření na každé jeho straně.

V případě, že dva dotyčné polygony jsou pravidelné, to znamená, že všechny strany a vnitřní úhly měří stejné, je shoda zajištěna, pokud je splněna některá z následujících podmínek:

- Strany jsou shodné

- Apothemy mají stejnou míru

- Poloměr každého polygonu měří stejný

Apothem pravidelného mnohoúhelníku je vzdálenost mezi středem a jednou ze stran, zatímco poloměr odpovídá vzdálenosti mezi středem a vrcholem nebo rohem obrázku.

Kritéria shodnosti se často používají, protože tolik dílů a kusů všeho druhu je vyráběno hromadně a musí mít stejný tvar a rozměry. Tímto způsobem lze v případě potřeby snadno vyměnit, například matice, šrouby, plechy nebo dlažbu na zemi v ulici.

Obrázek 2. Dlažební kameny ulice jsou shodné obrázky, protože jejich tvar a rozměry jsou přesně stejné, i když jejich orientace na podlaze se může změnit. Zdroj: Pixabay.

Souhlas, identita a podobnost

Existují geometrické pojmy související s kongruencí, například identické obrázky a podobné obrázky, které nemusí nutně znamenat, že obrázky jsou shodné.

Všimněte si, že shodné obrázky jsou identické, avšak čtyřúhelníky na obrázku 1 by mohly být orientovány různými způsoby v rovině a stále by mohly zůstat shodné, protože rozdílná orientace nemění velikost jejich stran nebo jejich úhly. V tom případě by už nebyli totožní.

Druhým konceptem je podobnost obrázků: dvě rovinné postavy jsou podobné, pokud mají stejný tvar a jejich vnitřní úhly měří stejný, i když velikost obrázků se může lišit. Pokud tomu tak je, čísla nejsou shodná.

Příklady shody

- Soulad úhlů

Jak jsme naznačili na začátku, shodné úhly mají stejnou míru. Existuje několik způsobů, jak získat shodné úhly:

Příklad 1

Dva řádky s společným bodem definují dva úhly, nazývané opačné úhly kvůli vrcholu. Tyto úhly mají stejnou míru, proto jsou shodné.

Obrázek 3. Opačné úhly vrcholu. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklad 2

Existují dvě rovnoběžné čáry plus čára t, která protíná obě. Stejně jako v předchozím příkladu, když tato čára protíná rovnoběžky, vytváří shodné úhly, jeden na každé linii na pravé straně a další dva na levé straně. Obrázek ukazuje α a α ₁ vpravo od čáry t, které jsou shodné.

Obrázek 4. Úhly znázorněné na obrázku jsou shodné. Zdroj: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Příklad 3

V rovnoběžníku jsou čtyři vnitřní úhly, které jsou shodné dva až dva. Jsou to mezi protilehlými vrcholy, jak je znázorněno na následujícím obrázku, ve kterém jsou oba zelené úhly shodné, stejně jako dva úhly v červené barvě.

Obrázek 5. Vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné dva po dvou. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Soulad trojúhelníků

Dva trojúhelníky stejného tvaru a velikosti jsou shodné. Chcete-li to ověřit, existují tři kritéria, která lze zkoumat při hledání shody:

- kritérium LLL: tři strany trojúhelníků mají stejná měřítka, proto L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ a L ₃ = L' _3.

Obrázek 6. Příklad kongruentních trojúhelníků, jejichž strany měří stejně. Zdroj: F. Zapata.

- ALA a AAL kritéria: trojúhelníky mají dva stejné vnitřní úhly a strana mezi těmito úhly má stejnou míru.

Obrázek 7. Kritéria ALA a AAL pro kongruenci trojúhelníku. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Kritérium LAL: dvě strany jsou identické (odpovídající) a mezi nimi je stejný úhel.

Obrázek 8. Kritérium LAL pro shodu trojúhelníků. Zdroj: Wikimedia Commons.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Na následujícím obrázku jsou znázorněny dva trojúhelníky: ΔABC a ΔECF. Je známo, že AC = EF, AB = 6 a CF = 10. Dále jsou úhly ∡BAC a ∡FEC shodné a úhly ∡ACB a ∡FCB jsou také shodné.

Obrázek 9. Trojúhelníky pro zpracovaný příklad 1. Zdroj: F. Zapata.

Délka segmentu BE se pak rovná:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Řešení

Protože dva trojúhelníky mají stranu stejné délky AC = EF mezi stejnými úhly ∡BAC = ∡CEF a ∡BCA = ∡CFE, lze říci, že oba trojúhelníky jsou shodné podle kritéria ALA.

To znamená ΔBAC ≡ ΔCEF, takže musíme:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Vypočítaný segment je BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Správná odpověď je tedy (iii).

- Cvičení 2

Na obrázku níže jsou znázorněny tři trojúhelníky. Je také známo, že oba uvedené úhly měří každý o 80 ° a že segmenty AB = PD a AP = CD. Najděte hodnotu úhlu X uvedeného na obrázku.

Obrázek 10. Trojúhelníky pro vyřešený příklad 2. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Musíte použít vlastnosti trojúhelníků, které jsou podrobně popsány krok za krokem.

Krok 1

Počínaje kritériem kongruence trojúhelníku LAL lze konstatovat, že trojúhelníky BAP a PDC jsou shodné:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Krok 2

Výše uvedené vede k potvrzení, že BP = PC, proto trojúhelník ΔBPC je rovnoramenný a ∡PCB = ∡PBC = X.

Krok 3

Pokud nazveme úhel BPC γ, znamená to, že:

2x + γ = 180 °

Krok 4

A pokud nazýváme úhly APB a DCP β a α úhly ABP a DPC, máme:

a + β + γ = 180 ° (protože APB je úhel roviny).

Krok 5

Dále, a + β + 80 ° = 180 ° součtem vnitřních úhlů trojúhelníku APB.

Krok 6

Spojením všech těchto výrazů máme:

a + β = 100 °

Krok 7

A proto:

y = 80º.

Krok 8

Konečně z toho vyplývá, že:

2X + 80º = 180º

S X = 50 °.

Reference

1. Baldor, A. 1973. Rovinná a kosmická geometrie. Středoamerický kulturní.
2. Nadace CK-12. Shodné polygony. Obnoveno z: ck 12.org.
3. Užijte si matematiku. Definice: Poloměr (polygon). Obnoveno z: enjoylasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Testování polygonů na shodu. Obnoveno z: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruence (geometrie). Obnoveno z: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trojúhelníky, historie, prvky, klasifikace, vlastnosti. Obnoveno z: lifeder.com.