Konečnou sadou se rozumí jakákoli množina s omezeným nebo spočitatelným počtem prvků. Příklady konečných sad jsou kuličky, které jsou obsaženy v sáčku, soubor domů v sousedství, nebo soubor P vytvořený z prvních dvaceti (20) přirozených čísel:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Soubor hvězd ve vesmíru je jistě obrovský, ale není jisté, zda je konečný nebo nekonečný. Soubor planet ve sluneční soustavě je však konečný.
Obrázek 1. Sada polygonů je konečná a také podmnožina pravidelných. (Wikimedia Commons)
Počet prvků v konečné sadě se nazývá její mohutnost a pro množinu P se označuje takto: Karta (P) nebo # P. Prázdná množina má nulovou kardinálnost a je považována za konečnou množinu.
Vlastnosti
Mezi vlastnosti konečných množin patří:
1 - Spojení konečných sad dává vzniknout novému konečnému souboru.
2- Pokud se dvě konečné sady protnou, vznikne nová konečná sada.
3 - Podmnožina konečné sady je konečná a její mohutnost je menší nebo stejná jako její původní sada.
4- Prázdná sada je konečná sada.
Příklady
Existuje mnoho příkladů konečných sad. Některé příklady zahrnují následující:
Množina M měsíců roku, kterou lze v rozšířené podobě napsat takto:
M = {leden, únor, březen, duben, květen, červen, červenec, srpen, září, říjen, listopad, prosinec}, mohutnost M je 12.
Sada S dnů v týdnu: S = {Pondělí, Úterý, Středa, Čtvrtek, Pátek, Sobota, Neděle}. Kardinalita S je 7.
Sada Ñ písmen španělské abecedy je konečná množina, tato sada podle přípon je psána takto:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} a její mohutnost je 27.
Množina V samohlásek ve španělštině je podmnožinou množiny Ñ:
V ⊂ Ñ je proto konečná množina.
Konečná množina V v rozsáhlé podobě je psána takto: V = {a, e, i, o, u} a její mohutnost je 5.
Sady lze vyjádřit pochopením. Příkladem je sada F složená z písmen slova „konečný“:
F = {x / x je písmeno slova "konečný"}
Řeknutý soubor vyjádřený v rozsáhlé podobě bude:
F = {f, i, n, t, o}, jehož mohutnost je 5, a proto je konečná množina.
Další příklady
Barvy duhy jsou dalším příkladem konečné sady, sada C těchto barev je:
C = {červená, oranžová, žlutá, zelená, azurová, modrá, fialová} a její mohutnost je 7.
Sada fází F měsíce je dalším příkladem konečné sady:
F = {Nový měsíc, první čtvrtletí, úplněk, poslední čtvrtletí} tato sada má mohutnost 4.
Obrázek 2. Planety sluneční soustavy tvoří konečnou sadu. (pixabay)
Další konečnou sadou je ta, kterou tvoří planety sluneční soustavy:
P = {Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun, Pluto} kardinality 9.
Řešená cvičení
Cvičení 1
Je dána následující sada A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Vyjádřete jej slovy a napište jej jako prodloužení, uveďte jeho mohutnost a řekněte, zda je konečný.
Řešení: Sada A je množina reálných čísel x taková, že x je výsledkem 27.
Rovnice x ^ 3 = 27 má tři řešení: jsou x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) a x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Ze tří řešení je pouze x1 reálné, zatímco další dvě jsou komplexní čísla.
Protože definice množiny A říká, že x patří ke skutečným číslům, řešení komplexních čísel nejsou součástí množiny A.
Množina A vyjádřená značně je:
A = {3}, což je konečná sada kardinality 1.
Cvičení 2
Napište symbolickou formou (s porozuměním) a v rozsáhlé podobě množinu B reálných čísel, která jsou větší než 0 (nula) a menší nebo rovno 0 (nula). Uveďte její mohutnost a zda je či není konečný.
Řešení: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Sada B je prázdná, protože skutečné číslo x nemůže být současně větší a menší než nula, stejně jako nemůže být 0 a také menší než 0.
B = {} a její mohutnost je 0. Prázdná množina je konečná množina.
Cvičení 3
Je uvedena množina S řešení určité rovnice. Množina S porozuměním je psána takto:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Napište uvedenou množinu v rozsáhlé podobě, uveďte její mohutnost a uveďte, zda se jedná o konečnou množinu.
Řešení: Za prvé, při analýze výrazu, který popisuje množinu S, se získá, že je to řešení skutečných hodnot x, které jsou řešeními rovnice:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Řešením této rovnice je x = 3, což je reálné číslo, a proto patří k S. Ale existuje více řešení, která lze získat hledáním řešení kvadratické rovnice:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Výše uvedený výraz lze rozdělit takto:
(x - 4) (x - 5) = 0
Což nás vede ke dvěma dalším řešením původní rovnice (*), která jsou x = 4 a x = 5. Zkrátka, rovnice (*) má jako řešení 3, 4 a 5.
Soubor S vyjádřený v rozsáhlé podobě vypadá takto:
S = {3, 4, 5}, který má mohutnost 3 a je tedy konečnou sadou.
Cvičení 4
Existují dvě sady A = {1, 5, 7, 9, 11} a B = {x ∊ N / x je sudé ^ x <10}.
Napiš soubor explicitně a najdi spojení se sadou A. Také najdi průnik těchto dvou sad a uzavři.
Řešení: množina B je tvořena přirozenými čísly tak, že jsou stejná a jsou také menší než hodnota 10, proto v rozsáhlé množině B je psáno následovně:
B = {2, 4, 6, 8}
Spojení sady A se sadou B je:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
a průnik sady A se sadou B je psán takto:
A ⋂ B = {} = Ø je prázdná sada.
Je třeba poznamenat, že spojení a zachycení těchto dvou konečných sad vede k novým souborům, které jsou zase také konečné.
Reference
- Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pro řízení a ekonomiku. Pearsonovo vzdělávání.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Práh.
- Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
- Mathematics 10 (2018). "Příklady konečných sad". Obnoveno z: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie. Pearsonovo vzdělávání.
- Wikipedia. Konečná sada. Obnoveno z: es.wikipedia.com