NEKONEČNÁ MNOŽINA: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Nekonečnou množinou se rozumí množina, ve které je počet jejích prvků nepočítatelný. To znamená, že bez ohledu na to, jak velký počet jejích prvků může být, je vždy možné najít více.

Nejběžnějším příkladem je nekonečná množina přirozených čísel N. Nezáleží na tom, jaké velké číslo je, protože vždy můžete získat větší číslo v procesu, který nemá konec:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Obrázek 1. Symbol nekonečna. (pixabay)

Soubor hvězd ve vesmíru je jistě obrovský, ale není jisté, zda je konečný nebo nekonečný. Na rozdíl od počtu planet ve sluneční soustavě, která je známa jako konečná sada.

Vlastnosti nekonečné množiny

Mezi vlastnosti nekonečných množin můžeme uvést následující:

1 - Spojení dvou nekonečných sad dává vzniknout nové nekonečné sadě.

2 - Spojení konečné sady s nekonečnou dává vznik nové nekonečné sadě.

3 - Pokud je podmnožina dané sady nekonečná, pak je původní sada také nekonečná. Vzájemné prohlášení není pravdivé.

Nemůžete najít přirozené číslo schopné vyjádřit mohutnost nebo počet prvků nekonečné množiny. Německý matematik Georg Cantor však představil koncept transfinitního čísla, který odkazuje na nekonečné pořadové číslo větší než jakékoli přirozené číslo.

Příklady

Přírodní N

Nejčastějším příkladem nekonečné množiny je příklad přirozených čísel. Přirozená čísla jsou ta, která se používají k počítání, ale celá čísla, která mohou existovat, jsou nepočítatelná.

Soubor přirozených čísel nezahrnuje nulu a je běžně označován jako množina N, která je v rozsáhlé formě vyjádřena takto:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} A je zjevně nekonečná množina.

Elipsa se používá k označení toho, že po jednom čísle následuje další a potom další v nekonečném nebo nekonečném procesu.

Sada přirozených čísel spojených se sadou, která obsahuje číslo nula (0), se nazývá množina N +.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Což je výsledkem spojení nekonečné množiny N s konečnou sadou O = {0}, což vede k nekonečné sadě N +.

Celá čísla Z

Množinu celých čísel Z tvoří přirozená čísla, přirozená čísla se záporným znaménkem a nula.

Celá čísla Z jsou považována za vývoj s ohledem na přirozená čísla N použitá původně a primitivně v procesu počítání.

V numerické sadě Z celých čísel je nula začleněna pro počítání nebo počítání nic a záporná čísla pro počítání extrakce, ztráty nebo nedostatku něčeho.

Pro ilustraci této myšlenky předpokládejme, že se na bankovním účtu objeví záporný zůstatek. To znamená, že účet je pod nulou a nejde jen o to, že je účet prázdný, ale že má chybějící nebo záporný rozdíl, který musí být nějakým způsobem nahrazen bankou.

V rozsáhlé formě je nekonečná množina Z celých čísel psána takto:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

Odůvodnění Q

Ve vývoji procesu počítání a výměny věcí se objevuje zboží nebo služby, zlomková nebo racionální čísla.

Například při výměně poloviny bochníku se dvěma jablky v okamžiku zaznamenání transakce někomu došlo, že polovina by měla být zapsána jako jedna rozdělena nebo rozdělena na dvě části: ½. Ale polovina poloviny chleba by byla zaznamenána v knihách takto: ½ / ½ = ¼.

Je jasné, že tento proces dělení může být teoreticky nekonečný, i když v praxi je to až do dosažení poslední částice chleba.

Soubor racionálních (nebo zlomkových) čísel je označen takto:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

Elipsa mezi dvěma celými čísly znamená, že mezi těmito dvěma čísly nebo hodnotami jsou nekonečné oddíly nebo divize. Proto se říká, že soubor racionálních čísel je nekonečně hustý. Je to proto, že bez ohledu na to, jak blízko mohou být dvě racionální čísla k sobě, lze najít nekonečné hodnoty.

Pro ilustraci výše uvedeného předpokládejme, že jsme požádáni o nalezení racionálního čísla mezi 2 a 3. Toto číslo může být 2⅓, což je známé jako smíšené číslo skládající se ze 2 celých částí plus třetina jednotky, což je odpovídá psaní 4/3.

Mezi 2 a 2⅓ lze nalézt další hodnotu, například 2⅙. A mezi 2 a 2⅙ lze najít další hodnotu, například 2⅛. Mezi těmito dvěma navzájem a mezi nimi navzájem, druhým a druhým.

Obrázek 2. Nekonečné dělení racionálních čísel. (wikimedia commons)

Iracionální čísla I

Existují čísla, která nelze zapsat jako dělení nebo zlomek dvou celých čísel. Je to tato numerická množina, která je známá jako množina I iracionálních čísel a je to také nekonečná množina.

Některé pozoruhodné prvky nebo představitelé této číselné množiny jsou číslo pi (π), Eulerovo číslo (e), zlatý poměr nebo zlaté číslo (φ). Tato čísla lze psát pouze zhruba racionálním číslem:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (a pokračuje do nekonečna a dále…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (a pokračuje za hranice nekonečna…)

φ = 1,61803398874989484820 …….. (do nekonečna…..a dále……)

Jiná iracionální čísla se objevují, když se snaží najít řešení velmi jednoduchých rovnic, například rovnice X ^ 2 = 2 nemá přesné racionální řešení. Přesné řešení je vyjádřeno následující symbolikou: X = √2, která je odečtena x rovná se kořenům dvou. Přibližný racionální (nebo desetinný) výraz pro √2 je:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Existuje bezpočet iracionálních čísel, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), abychom jmenovali alespoň některé.

Soubor skutečností R

Reálná čísla jsou čísla, která se nejčastěji používají v matematickém počtu, fyzice a inženýrství. Tato množina čísel je spojení racionálních čísel Q a iracionálních čísel I:

R = Q U I

Nekonečno větší než nekonečno

Mezi nekonečnými množinami jsou některé větší než jiné. Například množina přirozených čísel N je nekonečný, ale je podmnožina celá čísla Z, který je nekonečný, takže nekonečný množina Z je větší než nekonečné množině N.

Podobně, soubor celých čísel Z je podmnožinou reálných čísel R, a proto je množina R je „nekonečno“ Nekonečná množina Z.

Reference

1. Celeberrima. Příklady nekonečných množin. Obnoveno z: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pro řízení a ekonomiku. Pearsonovo vzdělávání.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Práh.
6. Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie. Pearsonovo vzdělávání.
9. Wikipedia. Nekonečná sada. Obnoveno z: es.wikipedia.com