KONSTANTA INTEGRACE: VÝZNAM, VÝPOČET A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Integrační konstanta je přidanou hodnotou pro výpočet primitivní nebo integrálů, slouží k představují řešení, které tvoří primitivní funkce. Vyjadřuje inherentní nejednoznačnost, kde každá funkce má nekonečný počet primitivů.

Například pokud vezmeme funkci: f (x) = 2x + 1 a dostaneme její antiderivative:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C; Kde C je konstanta integrace a graficky představuje vertikální překlad mezi nekonečnými možnostmi primitiva. Je správné říci, že (x ² + x) je jedním z primitivů f (x).

Zdroj: autor

Podobně můžeme definovat (x ² + x + C) jako primitiv f (x).

Reverzní vlastnictví

Je třeba poznamenat, že při odvozování výrazu (x ² + x) je získána funkce f (x) = 2x + 1. Je to kvůli inverzní vlastnosti existující mezi derivací a integrací funkcí. Tato vlastnost umožňuje získat integrační vzorce počínaje diferenciací. Což umožňuje ověření integrálů pomocí stejných derivátů.

Zdroj: autor

(X ² + x) však není jedinou funkcí, jejíž derivace je rovna (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

Kde 1, 2, 3 a 4 představují konkrétní primitiva f (x) = 2x + 1. Zatímco 5 představuje neurčitý nebo primitivní integrál f (x) = 2x + 1.

Zdroj: autor

Primitivy funkce se dosahují antiderivačním nebo integrálním procesem. Kde F bude primitivem f, pokud platí následující

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = konstanta integrace
• F '(x) = f (x)

Je vidět, že funkce má jediný derivát, na rozdíl od svých nekonečných primitiv vyplývajících z integrace.

Neurčitý integrál

∫ f (x) dx = F (x) + C

Odpovídá rodině křivek se stejným vzorem, u nichž dochází k rozporům v hodnotě obrazů každého bodu (x, y). Každá funkce, která splňuje tento vzor, ​​bude individuální primitiv a sada všech funkcí je známa jako neurčitý integrál.

Hodnota konstanty integrace bude ta, která rozlišuje každou funkci v praxi.

Integrační konstanta naznačuje svislý posun ve všech grafech představující primitiva funkce. Kde je pozorován paralelismus mezi nimi a skutečnost, že C je hodnota posunu.

Podle běžných postupů je konstanta integrace označena písmenem „C“ po dodatku, i když v praxi nezáleží na tom, zda je konstanta přidána nebo odečtena. Jeho skutečnou hodnotu lze najít různými způsoby za různých počátečních podmínek.

Další významy konstanty integrace

Již bylo diskutováno, jak je konstanta integrace aplikována v oboru integrálního počtu; Představujeme rodinu křivek, které definují neurčitý integrál. Mnoho dalších věd a oborů však přiřadilo velmi zajímavé a praktické hodnoty konstanty integrace, které usnadnily rozvoj více studií.

Ve fyzice může konstanta integrace nabývat více hodnot v závislosti na povaze dat. Velmi běžným příkladem je znalost funkce V (t), která představuje rychlost částice versus čas t. Je známo, že při výpočtu primitiva V (t ) je získána funkce R (t), která představuje polohu částice versus čas.

Integrační konstanta bude představovat hodnotu počáteční polohy, to znamená v čase t = 0.

Stejným způsobem je známa funkce A (t), která představuje zrychlení částice v závislosti na čase. Primitivní z A (t) bude mít za následek funkce V (t), kde je integrační konstanta bude hodnota počáteční rychlostí V ₀.

V ekonomii získáním integrace primitiva nákladové funkce. Integrační konstanta bude reprezentovat fixních nákladů. A mnoho dalších aplikací, které si zaslouží diferenciální a integrální počet.

Jak se počítá konstanta integrace?

Pro výpočet konstanty integrace bude vždy nutné znát počáteční podmínky. Které mají na starosti definování toho, který z možných primitivů je ten odpovídající.

V mnoha aplikacích je považována za nezávislou proměnnou v čase (t), kde konstanta C bere hodnoty, které definují počáteční podmínky konkrétního případu.

Pokud vezmeme počáteční příklad: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Platnou počáteční podmínkou může být podmínka, že graf prochází konkrétní souřadnicí. Například víme, že primitiv (x ² + x + C) prochází bodem (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; toto je obecné řešení

F (1) = 2

V této rovnosti nahrazujeme obecné řešení

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Z toho snadno vyplývá, že C = 0

Tímto způsobem je odpovídajícím primitivem pro tento případ F (x) = x ² + x

Existuje několik typů numerických cvičení, která pracují s konstantami integrace. Ve skutečnosti se diferenciální a integrální počet nepřestává používat v současných vyšetřováních. Na různých akademických úrovních je lze nalézt; od počátečního výpočtu přes fyziku, chemii, biologii, ekonomii.

Oceňuje se také ve studiu diferenciálních rovnic, kde integrační konstanta může nabývat různých hodnot a řešení, což je způsobeno vícenásobnými derivacemi a integracemi, které se v této záležitosti provádějí.

Příklady

Příklad 1

1. Kanón umístěný 30 metrů vysoký vystřelí střelu svisle nahoru. Počáteční rychlost střely je známa jako 25 m / s. Rozhodni se:

• Funkce, která definuje polohu projektilu s ohledem na čas.
• Čas letu nebo okamžik, kdy částice dopadne na zem.

Je známo, že při přímočarém pohybu rovnoměrně se mění zrychlení konstantní hodnotou. To je případ spuštění projektilu, kde zrychlení bude gravitace

g = - 10 m / s ²

Je také známo, že zrychlení je druhou derivací polohy, což ukazuje na dvojí integraci v rozlišení cvičení, čímž se získají dvě integrační konstanty.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10 t) dt = -10 t + C ₁

Počáteční Podmínky výkonu ukazují, že počáteční rychlost je V ₀ = 25 m / s. To je rychlost v okamžiku t = 0. Tímto způsobem je uspokojeno, že:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ a C ₁ = 25

S definovanou funkcí rychlosti

V (t) = -10t + 25; Podobnost lze pozorovat s MRUV vzorce (V _f = V ₀ + AXT)

Homologním způsobem přistupujeme k integraci funkce rychlosti a získáme výraz, který definuje polohu:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10 t + 25), dt = -5 t ² + 25 t + C ₂

R (t) = -5 t ² + 25 t + C ₂ (poloha primitivní)

Výchozí poloha R (0) = 30 m je známa. Potom se vypočítá konkrétní primitivum střely.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂. V případě C ₂ = 30

Příklad 2

1. Najděte primitivní f (x), které splňuje počáteční podmínky:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

S informacemi o druhé derivaci f '' (x) = 4 začíná proces antiderivace

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Poté, když známe podmínku f '(2) = 2, postupujeme:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 a f ‚(x) = 4x - 8

Stejným způsobem postupujeme i pro druhou konstantu integrace

f (x) = ∫f ‚(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Počáteční podmínka f (0) = 7 je známa a my pokračujeme:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 a f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

Podobně jako v předchozím problému definujeme první derivace a původní funkci z počátečních podmínek.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ²) dx = (x ³ /3) + C ₁

Při podmínce f '(0) = 6 postupujeme:

(0 ^3/3) + C ₁ = 6; Kde C ₁ = 6 a f ‚(x) = (x ³ /3) + 6

Pak druhá konstanta integrace

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Počáteční podmínka f (0) = 3 je známa a my pokračujeme:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; V případě C ₂ = 3

Takto získáme primitivní zvláštnost

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Příklad 3

1. Definujte primitivní funkce s ohledem na deriváty a bod v grafu:

• dy / dx = 2x - 2, který prochází bodem (3, 2)

Je důležité si uvědomit, že deriváty odkazují na sklon přímky tečné ke křivce v daném bodě. Pokud není správné předpokládat, že se graf derivátu dotkne označeného bodu, protože to patří do grafu primitivní funkce.

Tímto způsobem vyjadřujeme diferenciální rovnici takto:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Použití počáteční podmínky:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Získá se: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, který prochází bodem (0, 2)

Vyjadřujeme diferenciální rovnici takto:

Použití počáteční podmínky:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Získáme: f (x) = x ³ - x + 2

Navrhovaná cvičení

Cvičení 1

1. Najděte primitivní f (x), které splňuje počáteční podmínky:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Cvičení 2

1. Balón stoupající rychlostí 16 ft / s spouští pytel písku z výšky 64 ft nad úrovní terénu.

• Definujte čas letu
• Jaký bude vektor _Vf, když dopadne na zem?

Cvičení 3

1. Obrázek ukazuje graf doby zrychlení automobilu, který se pohybuje v kladném směru osy x. Když řidič zabrzdil brzdou, zastavil za 10 sekund vůz konstantní rychlostí 54 km / h. Určit:

• Počáteční zrychlení vozu
• Rychlost vozu při t = 5 s
• Posun vozidla během brzdění

Zdroj: autor

Cvičení 4

1. Definujte primitivní funkce s ohledem na deriváty a bod v grafu:

• dy / dx = x, které prochází bodem (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, který prochází bodem (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, které prochází bodem (-2, 2)

Reference

1. Integrální počet. Neurčité integrální a integrační metody. Wilson, Velásquez Bastidas. Univerzita Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Výpočet proměnné. Časní transcendentálové. Mexiko: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integrální počet. Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.
4. Fyzika I. Mc Graw hill