VÁLCOVÉ SOUŘADNICE: SYSTÉM, ZMĚNA A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Tyto válcové souřadnice se používají k umístění bodů v trojrozměrném prostoru a skládá se z radiální souřadnici ρ, φ azimutální koordinuje a souřadnice z výšky.

Bod P umístěný v prostoru je promítán kolmo na rovinu XY, což vede k bodu P 'v této rovině. Vzdálenost od počátku k bodu P 'definuje souřadnici ρ, zatímco úhel, který osa X vytváří s paprskem OP', definuje souřadnici φ. Konečně z souřadnice je ortogonální projekce bodu P na ose Z. (viz obrázek 1).

Obrázek 1. Bod P válcových souřadnic (ρ, φ, z). (Vlastní zpracování)

Radiální souřadnice ρ je vždy kladná, azimutální souřadnice φ kolísá od nulových radiánů do dvou pí radiánů, zatímco souřadnice z může mít jakoukoli skutečnou hodnotu:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Změna souřadnic

Je poměrně snadné získat kartézské souřadnice (x, y, z) bodu P z jeho válcových souřadnic (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Je však také možné získat polární souřadnice (ρ, φ, z) vycházející ze znalosti kartézských souřadnic (x, y, z) bodu P:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektorová základna ve válcových souřadnicích

Je definována základna válcových jednotkových vektorů Uρ, Uφ, Uz.

Vektor Uρ je tečný k přímce φ = ctte a z = ctte (směřující radiálně ven), vektor Uφ je tečný k přímce ρ = ctte a z = ctte a konečně Uz má stejný směr osy Z.

Obrázek 2. Válcová souřadnicová základna. (wikimedia commons)

V základně válcové jednotky je polohový vektor r bodu P psán vektorově takto:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Na druhé straně, infinitesimální posun d r od bodu P je vyjádřen takto:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Podobně infinitesimální prvek objemu dV ve válcových souřadnicích je:

dV = ρ dρ dφ dz

Příklady

Existuje bezpočet příkladů použití a použití válcových souřadnic. Například v kartografii se používá válcová projekce přesně na základě těchto souřadnic. Existuje více příkladů:

Příklad 1

Válcové souřadnice mají uplatnění v technologii. Jako příklad máme k dispozici systém umístění dat CHS (Cylinder-Head-Sector) na pevném disku, který ve skutečnosti sestává z několika disků:

- Válec nebo stopa odpovídá souřadnici ρ.

- Sektor odpovídá poloze φ disku, který se otáčí vysokou úhlovou rychlostí.

- Hlava odpovídá poloze z čtecí hlavy na odpovídajícím disku.

Každý bajt informací má přesnou adresu ve válcových souřadnicích (C, S, H).

Obrázek 2. Umístění informací ve válcových souřadnicích na pevném disku. (wikimedia commons)

Příklad 2

Stavební jeřáby fixují polohu nákladu ve válcových souřadnicích. Vodorovná poloha je definována vzdáleností k ose nebo šipce jeřábu ρ a jeho úhlovou polohou φ vzhledem k některé referenční ose. Svislá poloha zatížení je určena souřadnicí z výšky.

Obrázek 3. Poloha nákladu na stavebním jeřábu lze snadno vyjádřit válcovými souřadnicemi. (obrázek pixabay - anotace R. Pérez)

Řešená cvičení

Cvičení 1

Existují body P1 s válcovými souřadnicemi (3, 120 °, -4) a bod P2 s válcovými souřadnicemi (2, 90 °, 5). Najděte euklidovskou vzdálenost mezi těmito dvěma body.

Řešení: Nejprve přistoupíme k nalezení kartézských souřadnic každého bodu podle vzorce, který byl uveden výše.

P1 = (3 * cos 120 °, 3 * sin 120 °, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Euklidovská vzdálenost mezi P1 a P2 je:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Cvičení 2

Bod P má karteziánské souřadnice (-3, 4, 2). Najděte odpovídající válcové souřadnice.

Řešení: Postupujeme k nalezení válcových souřadnic pomocí výše uvedených vztahů:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13 ° + 180 ° = 126,87 °

z = 2

Je třeba si uvědomit, že arctangentní funkce je vícehodnotová se 180 ° periodicitou. Úhel φ musí také patřit do druhého kvadrantu, protože souřadnice x a y bodu P jsou v tomto kvadrantu. To je důvod, proč byl k výsledku přidán 180 ° φ.

Cvičení 3

Vyjádřete ve válcových souřadnicích a v kartézských souřadnicích povrch válce s poloměrem 2 a jehož osa se shoduje s osou Z.

Řešení: Rozumí se, že válec má nekonečné prodloužení ve směru z, takže rovnice uvedené plochy ve válcových souřadnicích je:

ρ = 2

K získání karteziánské rovnice válcové plochy se použije čtverec obou členů předchozí rovnice:

ρ ² = 4

Vynásobíme oba členy předchozí rovnosti 1 a použijeme základní trigonometrickou identitu (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Závorka je vyvinuta k získání:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Pamatujeme si, že první závorky (ρ sin (φ)) jsou souřadnice y bodu v polárních souřadnicích, zatímco závorky (ρ cos (φ)) představují souřadnici x, takže máme rovnici válce v souřadnicích Kartézský:

y ² + x ² = 2 ²

Výše uvedená rovnice by neměla být zaměňována s rovnicí obvodu v rovině XY, protože v tomto případě by to vypadalo takto: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

Cvičení 4

Válec o poloměru R = 1 ma výšce H = 1 m má svou hmotu rozloženou radiálně podle následující rovnice D (ρ) = C (1 - ρ / R), kde C je konstanta C = 1 kg / m ³. Najděte celkovou hmotnost válce v kilogramech.

Řešení: První věcí je uvědomit si, že funkce D (ρ) představuje objemovou hmotnostní hustotu a že hmotnostní hustota je distribuována ve válcových pláštích s klesající hustotou od středu k periferii. Infinitesimální prvek objemu podle symetrie problému je:

dV = ρ dρ 2π H

Infinitesimální hmotnost válcového pláště bude tedy:

dM = D (p) dV

Proto bude celková hmotnost válce vyjádřena následujícím jednoznačným integrálem:

M = ∫ _nebo ^Rd (ρ) dV = ∫ _nebo ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _nebo ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Řešení uvedeného integrálu není obtížné získat, jehož výsledkem je:

∫ _nebo ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Začleněním tohoto výsledku do vyjádření hmotnosti válce získáme:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ n 1 m * 1 kg / m ³ * 1 m ² = n / 3 kg ≈ 1,05 kg

Reference

1. Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metody pro fyziky. Komplexní průvodce. 7. vydání. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Výpočet cc. Řešení úloh válcových a kulových souřadnic. Obnoveno z: calclo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Válcové souřadnice." Z MathWorld - Wolfram Web. Obnoveno z: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Válcový souřadný systém. Obnoveno z: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektorová pole ve válcových a sférických souřadnicích. Obnoveno z: en.wikipedia.com