SFÉRICKÉ SOUŘADNICE: PŘÍKLADY A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Tyto sférické souřadnice jsou sada polohy bodů v trojrozměrném prostoru se skládá z radiálního koordinuje a dva úhlové souřadnice nazývané polárních souřadnic a koordinovat azimutální.

Obrázek 1, který vidíme níže, ukazuje sférické souřadnice (r, 9, φ) bodu M. Tyto souřadnice jsou označeny ortogonálním systémem kartézských os X, Y, Z původu O.

Obrázek 1. Sférické souřadnice (r, 9, φ) bodu M. (wikimedia commons)

V tomto případě je souřadnice r bodu M vzdálenost od tohoto bodu k počátku O. Polární souřadnice 9 představuje úhel mezi kladnou poloosou Z a poloměrem OM poloměr. Zatímco azimutální souřadnice φ je úhel mezi kladnou poloosou X a poloměrovým vektorem OM ', kde M' je ortogonální projekce M na rovinu XY.

Radiální souřadnice r bere pouze kladné hodnoty, ale pokud je bod umístěn na počátku, pak r = 0. Polární souřadnice θ bere jako minimální hodnotu 0 ° pro body umístěné na kladné ose Z a maximální hodnota 180 ° pro body je umístěna na záporné poloosy Z. Nakonec azimutální souřadnice φ bere jako minimální hodnotu 0 ° a maximální elevaci 360 °.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180 °

0 ≤ φ <360 °

Změna souřadnic

Dále jsou uvedeny vzorce, které umožňují získání kartézských souřadnic (x, y, z) bodu M, za předpokladu, že sférické souřadnice stejného (r, 9, φ) bodu jsou známy:

x = r Sen (9) Cos (φ)

y = r Sen (9) Sen (φ)

z = r Cos (9)

Stejně tak je užitečné najít vztahy, které vedou od kartézských souřadnic (x, y, z) daného bodu ke sférickým souřadnicím uvedeného bodu:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorový základ ve sférických souřadnicích

Z kulových souřadnic je definována ortonormální báze základních vektorů, které jsou označeny Ur, Uθ, Uφ. Na obrázku 1 jsou znázorněny tyto tři jednotkové vektory, které mají následující charakteristiky:

- Ur je jednotkový vektor tečný k radiální linii θ = ctte a φ = ctte;

- Uθ je jednotkový vektor tečný k oblouku φ = ctte a r = ctte;

- Uφ je jednotkový vektor tečný k oblouku r = ctte a θ = ctte.

Prvky čar a objemů ve sférických souřadnicích

Vektor pozice bodu v prostoru ve sférických souřadnicích je psán takto:

r = r Ur

Infinitezimální variace nebo posunutí bodu v trojrozměrném prostoru, v těchto souřadnicích, je však vyjádřeno následujícím vektorovým vztahem:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Nakonec je zapsán infinitesimální objem dV ve sférických souřadnicích takto:

dV = r ^ 2 Sen (9) dr dθdφ

Tyto vztahy jsou velmi užitečné pro výpočet liniových a objemových integrálů ve fyzických situacích, které mají sférickou symetrii.

Vztah ke geografickým souřadnicím

Geografickými souřadnicemi se rozumí souřadnice, které slouží k lokalizaci míst na zemském povrchu. Tento systém používá souřadnice zeměpisné šířky a délky k vyhledání polohy na povrchu Země.

V geografickém souřadném systému se předpokládá, že zemský povrch je sférický s poloměrem Rt, přestože je známo, že se na pólech zplošťuje, a je uvažována sada imaginárních linií nazývaných rovnoběžky a poledníky.

Obrázek 2. Zeměpisná délka α a zeměpisná šířka β pozorovatele na zemském povrchu.

Zeměpisná šířka β je úhel tvořený poloměrem, který začíná od středu Země k bodu, který chcete umístit. Měří se z rovníkové roviny, jak je znázorněno na obrázku 2. Na druhé straně, zeměpisná délka a je úhel, který meridián bodu, který se nachází, tvoří formy s ohledem na nulový poledník (známý jako Greenwichský poledník).

Zeměpisná šířka může být severní nebo jižní zeměpisná šířka v závislosti na tom, zda se místo, které hledáte, nachází na severní polokouli nebo na jižní polokouli. Podobně může být zeměpisná délka na západ nebo na východ v závislosti na tom, zda je poloha na západ nebo na východ od nulového poledníku.

Vzorce, které se mají změnit z geografického na sférický

Pro získání těchto vzorců je první věcí vytvořit souřadnicový systém. Rovina XY je vybrána tak, aby se shodovala s rovníkovou rovinou, přičemž pozitivní osou X je osa, která prochází od středu Země a prochází nulovým poledníkem. Osa Y zase prochází poledníkem 90 ° E. Zemský povrch má poloměr Rt.

U tohoto souřadnicového systému jsou transformace z geografického do sférického vzhledu takto:

aEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

aOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

aEβS → (Rt, 9 = 90 ° + β, φ = α)

aOβS → (Rt, θ = 90 ° + β, φ = 360º-α)

Příklady

Příklad 1

Zeměpisné souřadnice Palma de Mallorca (Španělsko) jsou:

Východní délka 38,847 ° a severní šířka 39,570 °. K určení sférických souřadnic odpovídajících Palma de Mallorca se použije první ze vzorců v předchozí části:

38 847 ° E 39 570 ° N → (r = 6371 km, 9 = 90 ° - 39 570 °, φ = 38 847 °)

Sférické souřadnice jsou tedy:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, 9 = 50,43 °, φ = 38,85 °)

V předchozí odpovědi bylo r považováno za průměrný poloměr Země.

Příklad 2

Vzhledem k tomu, že ostrovy Malvinas (Falklandy) mají zeměpisné souřadnice 59 ° 51,75 ° S, určete odpovídající polární souřadnice. Pamatujte, že osa X jde ze středu Země k poledníku 0 ° a na rovníkové rovině; osa Y také v rovníkové rovině a procházející 90 ° západní poledníku; nakonec osa Z na ose rotace Země ve směru jih-sever.

K nalezení odpovídajících sférických souřadnic použijeme vzorce uvedené v předchozí části:

59 ° O 51,75 ° S → (r = 6371 km, 9 = 90 ° + 51,75 °, φ = 360 °-59 °), což je

Malvinas: (r = 6371 km, 8 = 14,75 °, φ = 301 °)

Cvičení

Cvičení 1

Najděte karteziánské souřadnice Palma de Mallorca v kartézském referenčním systému XYZ znázorněném na obrázku 2.

Řešení: Dříve v příkladu 1 byly sférické souřadnice získány ze zeměpisných souřadnic Palma de Mallorca. Výše uvedené vzorce lze tedy použít pro přechod od sférického k kartézskému:

x = 6371 km Sen (50,43 °) Cos (38,85 °)

y = 6371 km Sen (50,43 °) Sen (38,85 °)

z = 6371 km Cos (50,43 °)

Provádíme odpovídající výpočty:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Cvičení 2

Najděte karteziánské souřadnice Falklandských ostrovů v referenčním systému karteziánské XYZ znázorněném na obrázku 2.

Řešení: Dříve, v příkladu 2, byly sférické souřadnice získány z geografických souřadnic Malvinasových ostrovů. Výše uvedené vzorce lze tedy použít pro přechod od sférického k kartézskému:

x = 6371 km Sen (14,75 °) Cos (301 °)

y = 6371 km Sen (141.75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (14,75 °)

Provedením odpovídajících výpočtů získáme:

Falklandské ostrovy: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Reference

1. Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metody pro fyziky. Komplexní průvodce. 7. vydání. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Výpočet cc. Řešení úloh válcových a kulových souřadnic. Obnoveno z: calclo.cc
3. Astronomický workshop. Zeměpisná šířka a zeměpisná délka. Obnoveno z: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sférické souřadnice." Z MathWorld-A Wolfram Web. Obnoveno z: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sférický souřadný systém. Obnoveno z: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorová pole ve válcových a sférických souřadnicích. Obnoveno z: en.wikipedia.com