OBDÉLNÍKOVÉ SOUŘADNICE: PŘÍKLADY A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA

V pravoúhlých souřadnic nebo karteziánské jsou ty, které se získají na základě kolmo vyčnívajících tří kartézských osách X, Y, Z bod se nachází ve třech - rozměrném prostoru.

Kartézské osy jsou vzájemně orientované linie kolmé k sobě navzájem. V kartézském souřadném systému je každému bodu v prostoru přiřazena tři reálná čísla, která jsou jeho pravoúhlými souřadnicemi.

Obrázek 1. Obdélníkové souřadnice bodu P (vlastní zpracování)

Letadlo je podprostor trojrozměrného prostoru. V případě uvažování bodů v rovině je pak jako kartézský systém dostačující zvolit dvojici kolmých os X, Y. Pak je každému bodu v rovině přiřazena dvě reálná čísla, která jsou jeho pravoúhlými souřadnicemi.

Počátek pravoúhlých souřadnic

Obdélníkové souřadnice byly původně navrženy francouzským matematikem René Descartesem (1596 a 1650), proto se jim říká kartézské.

S touto myšlenkou Descartes jsou body roviny a prostoru přiřazeny čísla, takže geometrické obrázky mají asociovanou algebraickou rovnici a klasické geometrické věty lze dokázat algebraicky. S kartézskými souřadnicemi se rodí analytická geometrie.

Kartézské letadlo

Pokud jsou v rovině vybrány dvě kolmé čáry, které se protínají v bodě O; a pokud je kromě každé čáry přiřazen směr a numerická stupnice mezi po sobě následujícími ekvidistantními body, pak existuje kartézský systém nebo rovina, ve které je každý bod roviny spojen s uspořádanou dvojicí dvou reálných čísel, která jsou jejich projekcemi, respektive na osy X a Y.

Body A = (3, 2); B = (-2,3); C = (- 2, -3) a D = (3, -3) jsou znázorněny v karteziánské rovině, jak je ukázáno níže:

Obrázek 2. Body v kartézské rovině. (Vlastní zpracování)

Všimněte si, že dvě osy X a Y rozdělují letadlo na čtyři sektory zvané kvadranty. Bod A je v prvním kvadrantu, bod B je ve druhém kvadrantu, bod C je ve třetím kvadrantu a bod D je ve čtvrtém kvadrantu.

Vzdálenost mezi dvěma body

Vzdálenost mezi dvěma body A a B na karteziánské rovině je délka segmentu, který je spojuje. Tuto vzdálenost lze analyticky vypočítat takto:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Výše uvedený vzorec se získá použitím Pythagorovy věty.

Použijeme-li tento vzorec na body A, B na obrázku 2, máme:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

To znamená, že d (A, B) = 5,10 jednotek. Všimněte si, že vzdálenost byla získána bez potřeby měření pomocí pravítka, byl dodržen zcela algebraický postup.

Analytické vyjádření čáry

Obdélníkové souřadnice umožňují analytické znázornění základních geometrických objektů, jako je bod a čára. Dva body A a B definují jednu čáru. Sklon přímky je definován jako kvocient mezi rozdílem souřadnic Y bodu B mínus A děleno rozdílem souřadnic X bodu B mínus A:

slope = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Jakýkoli bod P souřadnic (x, y), který patří k přímce (AB), musí mít stejný sklon:

sklon = (y - Ay) / (x - Ax)

Rovnice získaná rovností svahů je analytická nebo algebraická reprezentace linie, která prochází body A a B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Pokud vezmeme pro A a B pravoúhlé souřadnice obrázku 2, máme:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

V tomto konkrétním případě máme čáru se záporným sklonem -⅕, což znamená, že lokalizací v bodě na čáře a zvýšením souřadnice x o jednu jednotku se souřadnice y sníží o 0,2 jednotky.

Nejběžnějším způsobem, jak napsat rovnici přímky v rovině, je souřadnice y vymazána jako funkce proměnné x:

y = - (1/5) x + 13/5

Příklady

Příklad 1

Analytickými metodami se získá vzdálenost mezi body C a A, což jsou pravoúhlé souřadnice C = (-2, -3) a souřadnice A = (3,2).

Vzorec pro euklidovskou vzdálenost mezi těmito dvěma body je psán takto:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Nahrazujeme jejich odpovídající pravoúhlé souřadnice, které máme:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Příklad 2

Získej rovnici přímky, která prochází bodem C souřadnic (-2, -3) a bodem P souřadnic (2, 0).

Nejprve se získá sklon přímky CP:

sklon = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = 3

Jakýkoli bod Q obecných pravoúhlých souřadnic (x, y), který patří do přímky CP, musí mít stejný sklon:

sklon = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Jinými slovy, rovnice přímky CP je:

(y +3) / (x +2) = 3

Alternativní způsob, jak napsat rovnici řádku CP, je řešení pro y:

y = ¾ x - 3/2

Řešená cvičení

Cvičení 1

Získejte pravoúhlé souřadnice průsečíku mezi přímkami y = - (1/5) x + 13/5 a přímkou y = ¾ x - 3/2.

Řešení: Podle průsečíku průsečík dvou čar sdílí stejné pravoúhlé souřadnice. Proto jsou souřadnice y v průsečíku stejné pro obě linie:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

což vede k následujícímu výrazu:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

řešení součtu zlomků získáme:

19/20 x = 41/10

Řešení pro x:

x = 82/19 = 4,32

Pro získání hodnoty y průniku je získaná hodnota x nahrazena v kterémkoli z řádků:

y => 4,32 - 3/2 = 1,74

To znamená, že dané čáry se protínají v bodě I souřadnic I = (4,32, 1,74).

Cvičení 2

Získej rovnici obvodu, která prochází bodem R pravoúhlých souřadnic (3, 4) a která má střed počátku počátku souřadnic.

Řešení: Poloměr R je vzdálenost od bodu R k počátku O souřadnic (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

To znamená, že je to kruh o poloměru 5 vystředěný na (0,0).

Jakýkoli bod P (x, y) na obvodu musí mít stejnou vzdálenost 5 od středu (0, 0), aby mohl být zapsán:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

To znamená:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Abychom eliminovali druhou odmocninu, jsou oba členové rovnosti na druhou, získají:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Jaká je rovnice obvodu.

Tento příklad ilustruje sílu pravoúhlého souřadnicového systému, který umožňuje určit geometrické objekty, jako je obvod, bez nutnosti používat papír, tužku a kompas. Požadovaný obvod byl určen výhradně algebraickými metodami.

Reference

Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metody pro fyziky. Komplexní průvodce. 7. vydání. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Výpočet cc. Řešené úlohy pravoúhlých souřadnic. Obnoveno z: calclo.cc
Weisstein, Eric W. "Kartézské souřadnice". Z MathWorld-A Wolfram Web. Obnoveno z: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Kartézský souřadný systém. Obnoveno z: en.wikipedia.com

OBDÉLNÍKOVÉ SOUŘADNICE: PŘÍKLADY A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025