KOLIK ŘEŠENÍ MÁ KVADRATICKÁ ROVNICE? - MATEMATIKA - 2025

Kvadratická rovnice nebo kvadratická rovnice může mít nulu, jedno nebo dvě reálná řešení, v závislosti na koeficientech, které se objevují v uvedené rovnici.

Pokud pracujete na komplexních číslech, pak můžete říci, že každá kvadratická rovnice má dvě řešení.

Začněme kvadratickou rovnicí rovnice tvaru ax² + bx + c = 0, kde a, bac jsou reálná čísla a x je proměnná.

Říká se, že x1 je řešením předchozí kvadratické rovnice, pokud nahrazení x za x1 vyhovuje rovnici, to znamená, že a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Pokud máme například rovnici x²-4x + 4 = 0, pak x1 = 2 je řešení, protože (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Naopak, pokud nahradíme x2 = 0, dostaneme (0) ²-4 (0) + 4 = 4 a od 4 ≠ 0 pak x2 = 0 není řešením kvadratické rovnice.

Řešení kvadratické rovnice

Počet řešení kvadratické rovnice lze rozdělit do dvou případů, které jsou:

jeden.-

Při práci se skutečnými čísly mohou mít kvadratické rovnice:

- Nulová řešení: to znamená, že neexistuje skutečné číslo, které by splnilo kvadratickou rovnici. Například rovnice daná rovnicí x² + 1 = 0, neexistuje takové reálné číslo, které by vyhovovalo uvedené rovnici, protože obě x² jsou větší nebo rovno nule a 1 je přísně větší než nula, takže jejich součet bude větší přísné než nula.

- Opakované řešení: existuje jediná skutečná hodnota, která splňuje kvadratickou rovnici. Například jediné řešení rovnice x²-4x + 4 = 0 je x1 = 2.

- Dvě různá řešení: Existují dvě hodnoty, které splňují kvadratickou rovnici. Například x² + x-2 = 0 má dvě různá řešení, která jsou x1 = 1 a x2 = -2.

2.- V komplexních číslech

Při práci s komplexními čísly mají kvadratické rovnice vždy dvě řešení, která jsou z1 a z2, kde z2 je konjugát z1. Lze je také rozdělit do:

- Komplexy: řešení mají tvar z = p ± qi, kde p a q jsou reálná čísla. Tento případ odpovídá prvnímu případu v předchozím seznamu.

- Čisté komplexy: je, když se skutečná část řešení rovná nule, to znamená, že řešení má tvar z = ± qi, kde q je skutečné číslo. Tento případ odpovídá prvnímu případu v předchozím seznamu.

-Komplexy s imaginární částí rovnou nule: to je, když složitá část řešení je rovna nule, to znamená, že řešení je skutečné číslo. Tento případ odpovídá posledním dvěma případům v předchozím seznamu.

Jak jsou nalezena řešení kvadratické rovnice?

Pro výpočet řešení kvadratické rovnice se používá vzorec známý jako „rozhodnutí“, který říká, že řešení rovnice ax² + bx + c = 0 jsou dána výrazem na následujícím obrázku:

Množství, které se objeví v druhé odmocnině, se nazývá diskriminační kvadratická rovnice a je označeno písmenem „d“.

Kvadratická rovnice bude mít:

- Dvě skutečná řešení, pokud, a pouze pokud, d> 0.

- Skutečné řešení se opakovalo pouze tehdy, pokud d = 0.

-Zero reálná řešení (nebo dvě komplexní řešení), a to pouze tehdy, pokud d <0.

Příklady:

- Řešení rovnice x² + x-2 = 0 jsou dána:

- Rovnice x²-4x + 4 = 0 má opakované řešení, které je dáno:

- Řešení rovnice x² + 1 = 0 jsou dána:

Jak je vidět v tomto posledním příkladu, x2 je konjugát x1.

Reference

1. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice.: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pro řízení a ekonomiku. Pearsonovo vzdělávání.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Práh.
5. Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie. Pearsonovo vzdělávání.