Pojmy doména a kontradoména funkce se běžně vyučují v kurzech počtu, které se vyučují na začátku vysokoškolského studia.
Než definujete doménu a protiklad, musíte vědět, co je funkce. Funkce f je zákon (pravidlo) korespondence vytvořené mezi prvky dvou sad.
Soubor, ze kterého jsou prvky vybrány, se nazývá doména funkce a sada, do které jsou tyto prvky posílány prostřednictvím f, se nazývá čítačová doména.
V matematice je funkce s doménou A a čítačovou doménou B označena výrazem f: A → B.
Předchozí výraz říká, že prvky množiny A jsou zasílány do množiny B podle zákona o korespondenci f.
Funkce přiřadí každému prvku sady A jeden prvek sady B.
Doména a rozpor
Vzhledem k reálné funkci reálné proměnné f (x), máme doménu, že doménou funkce budou všechna ta reálná čísla, takže při vyhodnocení v f je výsledkem skutečné číslo.
Obecně je proti doménou funkce množina reálných čísel R. Čítačová doména se také nazývá příchozí množina nebo codomain funkce f.
Je protiklad funkce vždy R?
Ne. Pokud funkce není podrobně studována, sada reálných čísel R se obvykle bere jako proti-doména.
Ale jakmile je funkce studována, vhodnější sada může být brána jako doména, která bude podmnožinou R.
Správná sada, která byla zmíněna v předchozím odstavci, odpovídá obrazu funkce.
Definice obrazu nebo rozsahu funkce f se vztahuje na všechny hodnoty, které pocházejí z vyhodnocení prvku domény v f.
Příklady
Následující příklady ilustrují, jak vypočítat doménu funkce a její obrázek.
Příklad 1
Nechť f je skutečná funkce definovaná f (x) = 2.
Doménou f jsou všechna reálná čísla taková, že při vyhodnocení v f je výsledkem skutečné číslo. Protichůdnost pro tuto chvíli je rovna R.
Protože daná funkce je konstantní (vždy se rovná 2), nezáleží na tom, jaké reálné číslo je vybráno, protože při vyhodnocení v f bude výsledek vždy roven 2, což je skutečné číslo.
Doménou dané funkce jsou proto všechna reálná čísla; to znamená, A = R.
Nyní, když je známo, že výsledek funkce je vždy roven 2, máme, že obraz funkce je pouze číslo 2, a proto lze doménu funkce znovu definovat jako B = Img (f) = {dva}.
Proto f: R → {2}.
Příklad 2
Nechť g je skutečná funkce definovaná g (x) = √x.
Dokud obrázek g není znám, je protikladem g B = R.
U této funkce je třeba vzít v úvahu, že druhé odmocniny jsou definovány pouze pro nezáporná čísla; to znamená pro čísla větší nebo rovno nule. Například √-1 není skutečné číslo.
Proto musí být doménou funkce g všechna čísla větší nebo rovna nule; to znamená x ≥ 0.
Proto A = [0, + ∞).
Pro výpočet rozsahu je třeba poznamenat, že jakýkoli výsledek g (x), protože se jedná o druhou odmocninu, bude vždy větší nebo roven nule. To znamená, B = [0, + ∞).
Závěrem, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).
Příklad 3
Pokud máme funkci h (x) = 1 / (x-1), máme tuto funkci definovanou pro x = 1, protože v jmenovateli bychom dostali nulu a dělení nulou není definováno.
Na druhou stranu, pro jakoukoli jinou skutečnou hodnotu bude výsledkem skutečné číslo. Doména je tedy všechna reala kromě jedné; to znamená, A = R {1}.
Stejně tak lze pozorovat, že jediná hodnota, kterou nelze v důsledku toho získat, je 0, protože pro zlomek rovný nule musí být čitatel nulový.
Proto je obraz funkce množinou všech real s výjimkou nuly, takže B = R {0} je považováno za protichůdné.
Závěrem h: R {1} → R {0}.
Pozorování
Doména a obrázek nemusí být stejné sady, jak je ukázáno v příkladech 1 a 3.
Když je funkce graficky znázorněna na karteziánské rovině, je doména reprezentována osou X a protistrana nebo rozsah je představována osou Y.
Reference
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
- Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
- Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometrie roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
- Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Počet (deváté vydání). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Diferenciální počet s časnými transcendentními funkcemi pro vědu a techniku (druhé vydání). Přepona.
- Scott, CA (2009). Karteziánská rovinná geometrie, část: Analytické kuželosečky (1907) (dotisk ed.). Zdroj blesku.
- Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.