DOPLŇKOVÉ AKCE: Z ČEHO SE SKLÁDAJÍ A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Doplňkové události jsou definovány jako každá skupina vzájemně se vylučujících událostí navzájem, kde jejich spojení je schopné plně pokrýt prostor vzorku nebo možné případy experimentování (jsou vyčerpávající).

Jejich průnik vede k prázdné sadě (∅). Součet pravděpodobností dvou doplňujících se událostí je roven 1. Jinými slovy, 2 události s touto charakteristikou zcela pokrývají možnost událostí experimentu.

Zdroj: pexels.com

Jaké jsou doplňkové akce?

Velmi užitečným obecným případem pro pochopení tohoto typu události je hodit kostkou:

Při definování vzorkovacího prostoru jsou pojmenovány všechny možné případy, které experiment nabízí. Tato sada je známá jako vesmír.

Vzorový prostor (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Možnosti neuvedené ve vzorovém prostoru nejsou součástí možností experimentu. Například {číslo sedm přijde} Má pravděpodobnost nula.

Podle cíle experimentu jsou v případě potřeby definovány sady a podmnožiny. Nastavená notace, která se má použít, je také určena podle cíle nebo parametru, který má být studován:

A: {Výstup sudého čísla} = {2, 4, 6}

B: {Získat liché číslo} = {1, 3, 5}

V tomto případě A a B jsou doplňkové události. Protože obě sady se vzájemně vylučují (sudé číslo, které je zase liché, nemůže vyjít) a spojení těchto sad pokrývá celý prostor vzorku.

Další možné podmnožiny ve výše uvedeném příkladu jsou:

C: {Výstup prvočísla} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Sady A, B a C jsou psány v popisném a analytickém zápisu. Pro množinu D byl použit algebraický zápis a možné výsledky odpovídající experimentu byly popsány v analytickém zápisu.

V prvním příkladu je pozorováno, že protože A a B jsou komplementární události

A: {Výstup sudého čísla} = {2, 4, 6}

B: {Získat liché číslo} = {1, 3, 5}

Platí následující axiomy:

1. AUB = S; Spojení dvou doplňujících se událostí se rovná vzorku
2. A ∩B = ∅ ; Průnik dvou doplňujících se událostí se rovná prázdné sadě
3. A '= B = B' = A; Každá podmnožina se rovná komplementu svého homologu
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Průnik sady s jejím doplňkem je prázdný
5. A 'UA = B' UB = S; Spojení sady s jejím doplňkem se rovná prostoru vzorku

Ve statistikách a pravděpodobnostních studiích jsou komplementární události součástí celé teorie a jsou velmi běžné mezi operacemi prováděnými v této oblasti.

Chcete-li se dozvědět více o doplňujících se událostech, je nutné porozumět určitým pojmům, které jim pomáhají definovat pojmově.

Jaké jsou události?

Jsou to možnosti a události, které jsou výsledkem experimentování, schopné nabídnout výsledky v každé z jejich iterací. Tyto události generovat data, která mají být zaznamenány jako prvky sad a dílčích sestav, trendy v těchto údajích jsou důvodem ke studiu na pravděpodobnosti.

Příklady událostí jsou:

• Mince ukazovaly hlavy
• Zápas skončil remízou
• Chemikálie reagovala za 1,73 sekundy
• Rychlost v maximálním bodě byla 30 m / s
• Zemřít označilo číslo 4

Co je plugin?

Pokud jde o teorii množin. Dodatek se vztahuje k části vzorku prostoru, který musí být přidán k sadě k tomu, aby zahrnovala jeho vesmíru. Je to všechno, co není součástí celku.

Známý způsob, jak označit doplněk v teorii množin, je:

'Doplněk A

Vennův diagram

Zdroj: pixabay.com

Je to graficko - obsahové analytické schéma, široce používané v matematických operacích zahrnujících množiny, podsady a prvky. Každá sada je reprezentována velkým písmenem a oválným číslem (tato vlastnost není při použití povinná), která obsahuje každý jeden z jejích prvků.

Tyto další události jsou vidět přímo Venn diagramy, jako jeho grafickou metodou pro identifikaci odpovídajících výbavy každé sady.

Jednoduše úplná vizualizace prostředí sady, vynechání její hranice a vnitřní struktury, umožňuje definovat doplněk studovaného souboru.

Příklady doplňkových událostí

Příklady doplňujících událostí jsou úspěch a porážka v případě, kdy nemůže existovat rovnost (baseballová hra).

Booleovské proměnné jsou komplementární události: Pravda nebo nepravda, podobně správná nebo špatná, uzavřená nebo otevřená, zapnutá nebo vypnutá.

Doplňková cvičení

Cvičení 1

Nechť S je množina vesmíru definovaná všemi přirozenými čísly menšími nebo rovnými deseti.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Jsou definovány následující podmnožiny S

H: {Přirozená čísla menší než čtyři} = {0, 1, 2, 3}

J: {Násobky tří} = {3, 6, 9}

K: {Násobky pěti} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Přirozená čísla větší nebo rovná čtyřem} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Rozhodni se:

Kolik doplňujících událostí může být vytvořeno spojením párů podmnožin S ?

Podle definice doplňujících se událostí jsou identifikovány páry, které splňují požadavky (vzájemně se vylučují a při připojení pokrývají prostor vzorku). Následující dvojice podskupin jsou doplňkovými událostmi :

• H a N
• J a M.
• L a K

Cvičení 2

Ukažte to: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Průsečík mezi sadami dává společné prvky mezi oběma sadami operantů. Tímto způsobem 5 je jediným společným prvkem mezi M a K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Protože L a K jsou komplementární, je splněna výše popsaná třetí axioma (každá podmnožina se rovná komplementu svého homologu)

Cvičení 3

Definovat: '

J * H = {3}; Podobně jako v prvním kroku předchozího cvičení.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Tyto operace jsou známé jako kombinované a obvykle se s nimi zachází Vennovým diagramem.

' = {0, 1, 2}; Je definován doplněk kombinované operace.

Cvičení 4

Dokažte, že: { ∩ ∩} '= ∅

Složená operace popsaná v složených složených závorkách označuje průnik mezi odbory komplementárních událostí. Tímto způsobem přistoupíme k ověření prvního axiomu (Sjednocení dvou doplňujících se událostí se rovná prostoru vzorku).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Spojení a průnik souboru sám o sobě vytváří stejný soubor.

Pak; S '= ∅ Podle definice sad.

Cvičení 5

Definujte 4 průsečíky mezi podmnožinami, jejichž výsledky se liší od prázdné sady (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Reference

1. ÚLOHA STATISTICKÝCH METOD V POČÍTAČOVÉ VĚDĚ A BIOINFORMATIKÁCH. Irina Arhipová. Lotyšská zemědělská univerzita, Lotyšsko.
2. Statistika a hodnocení důkazů pro forenzní vědce. Druhé vydání. Colin GG Aitken. Matematická škola. University of Edinburgh, Velká Británie
3. ZÁKLADNÍ TEORIA PROBABILITY, Robert B. Ash. Katedra matematiky. University of Illinois
4. Základní statistika. Desáté vydání. Mario F. Triola. Boston St.
5. Matematika a inženýrství v informatice. Christopher J. Van Wyk. Ústav pro počítačové vědy a technologie. Národní úřad pro standardy. Washington, DC 20234
6. Matematika pro informatiku. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Katedra matematiky a informatiky a laboratoře AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies