HOMOTHECY: VLASTNOSTI, TYPY A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Dilatace je geometrický změna v rovině, které z pevného bodu zvaného centra (O), vzdálenosti se vynásobí společným faktorem. Tímto způsobem každý bod P odpovídá jinému bodu produktu P 'transformace a ty jsou vyrovnány s bodem O.

Homothecy je tedy o korespondenci mezi dvěma geometrickými obrázky, kde transformované body se nazývají homotetické, a ty jsou zarovnány s pevným bodem a se segmenty rovnoběžnými k sobě navzájem.

Homothecy

Homothecy je transformace, která nemá shodný obraz, protože z čísla bude získána jedna nebo více čísel větších nebo menších než původní obrázek; to znamená, že homothecy transformuje mnohoúhelník do jiného podobného.

Aby bylo dosaženo homothecy, musí bod-bod a line-line odpovídat, takže páry homologních bodů jsou zarovnány se třetím pevným bodem, který je středem homothecy.

Stejně tak dvojice čar, které je spojují, musí být rovnoběžné. Vztah mezi takovými segmenty je konstanta zvaná poměr homothecy (k); takovým způsobem, že homothecy lze definovat jako:

Abychom provedli tento typ transformace, začneme výběrem libovolného bodu, který bude středem homothecy.

Od tohoto okamžiku jsou nakresleny úsečky pro každý vrchol obrázku, který má být transformován. Měřítko, ve kterém se reprodukuje nová postava, je dáno poměrem homothecy (k).

Vlastnosti

Jednou z hlavních vlastností homothecy je to, že z homothetického důvodu (k) jsou všechny homothetické postavy podobné. Mezi další vynikající vlastnosti patří:

- Centrum homothecie (O) je jediný dvojitý bod, který se promění v sebe; to znamená, že se nemění.

- Čáry, které procházejí středem, jsou přeměněny na sebe (jsou dvojité), ale body, které jej skládají, nejsou dvojité.

- Čáry, které neprocházejí středem, se transformují na rovnoběžné linie; tímto způsobem zůstávají úhly homothecy stejné.

- Obraz segmentu podle homothecy středu O a poměru k je segmentem rovnoběžným s tímto a má k krát svou délku. Například, jak je vidět na následujícím obrázku, segment AB podle homothecy povede k dalšímu segmentu A'B ', takže AB bude rovnoběžná s A'B' a k bude:

- Homothetické úhly jsou shodné; to znamená, že mají stejné opatření. Proto je obraz úhlu úhel, který má stejnou amplitudu.

Na druhé straně máme homologii, která se mění v závislosti na hodnotě jejího poměru (k), a mohou nastat následující případy:

- Pokud je konstanta k = 1, všechny body jsou pevné, protože se transformují. Homothetická postava se tedy shoduje s původní a transformace se bude nazývat funkcí identity.

- Pokud k ≠ 1, bude jediným pevným bodem střed homothetiky (O).

- Pokud k = -1, homothecie se stává centrální symetrií (C); tj. dochází k rotaci kolem C pod úhlem 180 ^nebo.

- Pokud k> 1, velikost transformovaného obrázku bude větší než velikost originálu.

- Pokud 0 <k <1, velikost transformovaného obrázku bude menší než původní.

- Pokud -1 <k <0, velikost transformovaného obrázku bude menší a bude rotována vzhledem k originálu.

- Pokud k <-1, bude velikost transformovaného obrázku větší a bude rotována vzhledem k originálu.

Typy

Homothecy může také být rozdělena do dvou typů, se spoléhat na hodnotu jeho poměru (k):

Přímá homothecy

To nastane, když konstanta k> 0; to znamená, že homothetické body jsou na stejné straně vzhledem ke středu:

Poměrný faktor nebo poměr podobnosti mezi přímými homothetickými čísly bude vždy kladný.

Reverzní homothecy

To nastane, pokud konstanta k <0; to znamená, že počáteční body a jejich homothetika jsou umístěny na opačných koncích vzhledem ke středu homothetiky, ale jsou s ní vyrovnány. Střed bude mezi dvěma postavami:

Faktor proporcionality nebo poměr podobnosti mezi inverzními homothetickými čísly bude vždy záporný.

Složení

Pokud se postupně provádí několik pohybů, dokud nezískáme číslo rovné původnímu, dojde ke složení pohybů. Složení několika pohybů je také pohybem.

Složení mezi dvěma homothecies má za následek nové homothecy; to znamená, že máme součin homotheties, ve kterém bude centrum zarovnáno se středem dvou původních transformací a poměr (k) je součinem obou poměrů.

Tak, ve složení dvou homotheties H ₁ (O ₁, k ₁) a H ₂ (O ₂, K ₂), násobení jejich poměrů: k ₁ xk ₂ = 1 bude mít za následek homothecy o poměru K ₃ = k ₁ xk ₂. Střed této nové homothecy (O ₃) bude umístěn na lince O ₁ O ₂.

Homothecia odpovídá ploché a nezvratné změně; Pokud jsou použity dvě homothetie, které mají stejný střed a poměr, ale s jiným znaménkem, získá se původní číslo.

Příklady

První příklad

Aplikujte homologii na daný polygon středu (O), který se nachází 5 cm od bodu A a jehož poměr je k = 0,7.

Řešení

Jakýkoli bod je vybrán jako střed homothecy, a od tohoto bodu paprsky jsou kresleny přes vrcholky obrázku:

Vzdálenost od středu (O) k bodu A je OA = 5; Tímto způsobem lze určit vzdálenost jednoho z homothetických bodů (OA '), také s vědomím, že k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Proces lze provést pro každý vrchol, nebo lze také nakreslit homothetický mnohoúhelník, přičemž si uvědomíme, že oba polygony mají rovnoběžné strany:

Nakonec vypadá transformace takto:

Druhý příklad

Aplikujte homologii na daný polygon se středem (O), který se nachází 8,5 cm od bodu C a jehož poměr y je k = -2.

Řešení

Vzdálenost od středu (O) k bodu C je OC = 8,5; Na základě těchto údajů je možné určit vzdálenost jednoho z homothetických bodů (OC '), také s vědomím, že k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po nakreslení segmentů vrcholů transformovaného polygonu máme počáteční body a jejich homothetiky umístěné na opačných koncích vzhledem ke středu:

Reference

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technický výkres: činnost notebook.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinity, Homology and Homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineární algebra a projektivní geometrie. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Obecná matematika, pravděpodobnosti a statistika.
5. Meserve, BE (2014). Základní pojmy geometrie. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Úvod do algebry. Reverte.