BOOLEOVSKÁ ALGEBRA: HISTORIE, VĚTY A POSTULÁTY, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Booleovské algebry nebo Booleovská algebra je algebraický zápis používá k léčbě binárních proměnných. Zahrnuje studie jakékoli proměnné, která má pouze 2 možné výsledky, doplňující se a vzájemně se vylučující. Například proměnné, jejichž jediná možnost je pravdivá nebo nepravdivá, správná nebo nesprávná, zapnutá nebo vypnutá, jsou základem studia booleovské algebry.

Booleovská algebra představuje základ digitální elektroniky, díky čemuž je dnes docela přítomná. Řídí se konceptem logických bran, kde jsou výrazně ovlivněny známé operace v tradiční algebře.

Zdroj: pexels.com

Dějiny

Boolean algebra byla představena v 1854 anglickým matematikem George Boole (1815 - 1864), kdo byl samouk učil času. Jeho obavy vyvstaly z existujícího sporu mezi Augustem De Morganem a Williamem Hamiltonem o parametry, které definují tento logický systém.

George Boole argumentoval, že definice číselných hodnot 0 a 1 odpovídá v oblasti logiky interpretaci Nothing a Universe.

George Boole měl v úmyslu definovat prostřednictvím vlastností algebry výrazy výrokové logiky potřebné k řešení proměnných binárního typu.

V roce 1854 byly nejvýznamnější části booleovské algebry publikovány v knize „Zkoumání zákonů myšlení, na nichž jsou založeny matematické teorie logiky a pravděpodobnosti“.

Tento podivný název bude později shrnut jako „Zákony myšlení“ („Zákony myšlení“). Titul vzrostl na slávu díky okamžité pozornosti, kterou získal od matematické komunity té doby.

V roce 1948 ji Claude Shannon aplikoval na návrh bistabilních elektrických spínacích obvodů. Toto posloužilo jako úvod do aplikace booleovské algebry v celém elektronicko-digitálním schématu.

Struktura

Elementární hodnoty v tomto typu algebry jsou 0 a 1, které odpovídají FALSE a TRUE. Základní operace v booleovské algebře jsou 3:

- AND operace nebo spojení. Zastoupené dobou (.). Synonymum produktu.

- NEBO operace nebo disjunkce. Zastoupeno křížkem (+) Synonymum pro částku.

- NENÍ provoz nebo negace. Reprezentováno předponou NOT (NOT A). To je také známé jako doplněk.

Pokud jsou v sadě A 2 zákony vnitřního složení definovány jako součin a součet (. +), Říká se, že trojnásobek (A. +) je booleovská algebra, pokud a pouze pokud uvedený trojitý splňuje podmínku být mříží distribuční.

Pro definování distribuční mřížky musí být mezi danými operacemi splněny distribuční podmínky:

. je distribuční vzhledem k součtu + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ je distribuční s ohledem na produkt. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Prvky, které tvoří množinu A, musí být binární, takže mají hodnoty vesmíru nebo prázdnoty.

Aplikace

Jeho hlavním aplikačním scénářem je digitální větev, kde slouží ke strukturování obvodů, které tvoří příslušné logické operace. Umění jednoduchosti obvodů ve prospěch optimalizace procesů je výsledkem správné aplikace a praxe booleovské algebry.

Od vývoje elektrických panelů, přes přenos dat, až po dosažení programování v různých jazycích, často najdeme booleovskou algebru ve všech druzích digitálních aplikací.

Booleovské proměnné jsou ve struktuře programování velmi běžné. V závislosti na použitém programovacím jazyce budou v kódu existovat strukturální operace, které tyto proměnné používají. Podmínky a argumenty každého jazyka připouštějí booleovské proměnné pro definování procesů.

Předpokládá se

Existují věty, které upravují strukturální logické zákony booleovské algebry. Stejně tak existují postuláty, které znají možné výsledky různých kombinací binárních proměnných v závislosti na provedené operaci.

Součet (+)

Operátor OR, jehož logickým prvkem je unie (U), je pro binární proměnné definován takto:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Operátor AND, jehož logickým prvkem je průnik (∩), je pro binární proměnné definován takto:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

jeden. 0 = 0

jeden. 1 = 1

Naproti (NE)

Operátor NOT, jehož logickým prvkem je doplněk (X) ', je pro binární proměnné definován následovně:

NOT 0 = 1

NOT 1 = 0

Mnoho postulátů se liší od jejich protějšků v klasické algebře. Je to kvůli doméně proměnných. Například přidání prvků vesmíru do booleovské algebry (1 + 1) nemůže poskytnout konvenční výsledek 2, protože nepatří k prvkům binární množiny.

Věty

Pravidlo nula a jednoty

Každá jednoduchá operace, která zahrnuje prvek s binárními proměnnými, je definována:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

jeden. A = A

Rovné síly nebo idempotence

Operace mezi stejnými proměnnými jsou definovány jako:

A + A = A

TO. A = A

Doplnění

Jakákoli operace mezi proměnnou a jejím doplňkem je definována jako:

A + NOT A = 1

TO. NOT A = 0

Involuce nebo dvojitá negace

Jakákoli dvojitá negace bude považována za přirozenou proměnnou.

NOT (NOT A) = A

Komutativní

A + B = B + A; Commutativity součtu.

TO. B = B. TO; Commutativity produktu.

Asociativní

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Asociativita součtu.

TO. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Asociace produktů.

Distribuční

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distributivita částky vzhledem k produktu.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivita produktu s ohledem na částku.

Zákony absorpce

Mezi mnoha odkazy existuje mnoho zákonů absorpce, některé z nejznámějších jsou:

TO. (A + B) = A

TO. (NOT A + B) = A. B

NOT A (A + B) = NOT A. B

(A + B). (A + NOT B) = A

A + A. B = A

A + NE A. B = A + B

NOT A + A. B = NOT A + B

TO. B + A. NOT B = A

Morganova věta

Jsou to transformační zákony, které zpracovávají dvojice proměnných, které interagují mezi definovanými operacemi booleovské algebry (+.).

NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT (A + B) = NOT A. NE B

A + B = NOT (NOT A + NOT B)

TO. B = NOT (NOT A. NOT B)

Dualita

Všechny postuláty a věty mají fakultu duality. To znamená, že výměnou proměnných a operací je výsledný návrh ověřen. To znamená, že při výměně 0 za 1 a AND za OR nebo naopak; je vytvořen výraz, který bude také platný.

Například pokud je přijata postulát

jeden. 0 = 0

A je aplikována dualita

0 + 1 = 1

Získá se další dokonale platný postulát.

Mapa Karnaugh

Mapa Karnaugh je diagram používaný v booleovské algebře ke zjednodušení logických funkcí. Skládá se z dvourozměrného uspořádání podobného tabulkám pravdy výrokové logiky. Data z tabulek pravdy mohou být přímo zachycena na mapě Karnaugha.

Mapa Karnaugh může pojmout procesy až 6 proměnných. U funkcí s větším počtem proměnných se pro zjednodušení procesu doporučuje použití softwaru.

Navržen v roce 1953 Maurice Karnaughem, byl založen jako pevný nástroj v oblasti booleovské algebry, protože jeho implementace synchronizuje lidský potenciál s potřebou zjednodušit booleovské výrazy, což je klíčový aspekt v plynulosti digitálních procesů.

Příklady

Booleovská algebra se používá ke zmenšení logických bran v obvodu, kde prioritou je snížit složitost nebo úroveň obvodu na nejnižší možnou expresi. To je způsobeno výpočtovým zpožděním, které každá brána předpokládá.

V následujícím příkladu budeme sledovat zjednodušení logického výrazu na jeho minimální výraz pomocí teorémů a postulátů Booleovské algebry.

NE (AB + A + B). NOT (A + NOT B)

NE. NOT (A + NOT B); Factoring A se společným faktorem.

NE. NOT (A + NOT B); Věta A + 1 = 1.

NE (A + B). NOT (A + NOT B); teorémem A. 1 = A

(NOT A. NOT B).;

Morganova věta NE (A + B) = NE A. NE B

(NOT A. NOT B). (NOT A. B); Věta o dvojité negaci NOT (NOT A) = A

NENÍ A. NENÍ B. NENÍ A. B; Algebraické seskupení.

NENÍ A. NENÍ A. NENÍ B. B; Commutativity produktu A. B = B. NA

NENÍ A. NENÍ B. B; Věta A. A = A

NENÍ A. 0; Věta A. NOT A = 0

0; Věta A. 0 = 0

TO. B. C + NOT A + A. NENÍ B. C

TO. C. (B + NOT B) + NOT A; Factoring (A. C) se společným faktorem.

TO. C. (1) + NOT A; Věta A + NOT A = 1

TO. C + NOT A; Podle pravidla nulové věty a jednoty 1. A = A

NOT A + C; Podle zákona Morgan A + NOT A. B = A + B

Pro toto řešení musí být Morganův zákon rozšířen o:

NOT (NOT A). C + NOT A = NOT A + C

Protože NOT (NOT A) = A invazí.

Zjednodušte logickou funkci

NENÍ A. NENÍ B. NOT C + NOT A. NENÍ B. C + NOT A. NOT C až na svůj minimální výraz

NENÍ A. NENÍ B. (NOT C + C) + NOT A. NOT C; Factoring (NOT A. NOT B) se společným faktorem

NENÍ A. NENÍ B. (1) + NE A. NOT C; Věta A + NOT A = 1

(NOT A. NOT B) + (NOT A. NOT C); Podle pravidla nulové věty a jednoty 1. A = A

NOT A (NOT B + NOT C); Factoring NOT A se společným faktorem

NENÍ A. NOT (B. C); Podle Morganových zákonů NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT Morganovými zákony NOT (A. B) = NOT A + NOT B

Jakákoli ze 4 možností tučně představuje možné řešení pro snížení úrovně obvodu

Zjednodušte logickou funkci do nejjednodušší podoby

(A. NOT B. C + A. NOT B. B. D + NOT A. NOT B). C

(A. NOT B. C + A. 0. D + NOT A. NOT B). C; Věta A. NOT A = 0

(A. NOT B. C + 0 + NOT A. NOT B). C; Věta A. 0 = 0

(A. NOT B. C + NOT A. NOT B). C; Věta A + 0 = A

TO. NENÍ B. C. C + NOT A. NENÍ B. C; Distribučností produktu s ohledem na částku

TO. NENÍ B. C + NOT A. NENÍ B. C; Věta A. A = A

NENÍ B. C (A + NOT A) ; Factoring (NOT B. C) se společným faktorem

NENÍ B. C (1); Věta A + NOT A = 1

NENÍ B. C; Podle pravidla nulové věty a jednoty 1. A = A

Reference

1. Booleovská algebra a její aplikace J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematika a inženýrství v informatice. Christopher J. Van Wyk. Ústav pro počítačové vědy a technologie. Národní úřad pro standardy. Washington, DC 20234
3. Matematika pro informatiku. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Katedra matematiky a informatiky a laboratoře AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.

4. Prvky abstraktní analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. Univerzitní vysoká škola Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.