VEKTOROVÁ ALGEBRA: ZÁKLADY, VELIKOSTI, VEKTORY - MATEMATIKA

Vektor algebra je odvětví matematiky, které studie soustavy lineárních rovnic, vektory, matice, vektorových prostorů a lineární transformace. Souvisí to mimo jiné s inženýrstvím, řešením diferenciálních rovnic, funkční analýzou, výzkumem operací, počítačovou grafikou.

Další oblastí, kterou si lineární algebra osvojila, je fyzika, protože díky tomu bylo možné vyvinout studium fyzikálních jevů a popsat je pomocí vektorů. To umožnilo lepší porozumění vesmíru.

Základy

Vektorová algebra pocházela ze studia kvaternionů (rozšíření reálných čísel) 1, i, j, k, jakož i z karteziánské geometrie podporované Gibbsem a Heavisidem, kteří si uvědomili, že vektory budou sloužit jako nástroj pro představují různé fyzikální jevy.

Vektorová algebra je studována na třech základech:

Geometricky

Vektory jsou reprezentovány čarami, které mají orientaci, a operace jako sčítání, odčítání a násobení skutečnými čísly jsou definovány geometrickými metodami.

Analyticky

Popis vektorů a jejich operace se provádí pomocí čísel, nazývaných komponenty. Tento typ popisu je výsledkem geometrického znázornění, protože se používá souřadnicový systém.

Axiomaticky

Je vytvořen popis vektorů, bez ohledu na souřadný systém nebo jakýkoli typ geometrického znázornění.

Studium postav v prostoru se provádí jejich reprezentací v referenčním systému, který může mít jednu nebo více dimenzí. Mezi hlavní systémy patří:

- jednorozměrný systém, který je přímkou, kde jeden bod (O) představuje počátek a druhý bod (P) určuje měřítko (délka) a jeho směr:

- pravoúhlý souřadný systém (dvourozměrný), který se skládá ze dvou kolmých čar, které se nazývají osa x a osa y, které prochází počátkem bodu (O); tímto způsobem je letadlo rozděleno do čtyř oblastí nazývaných kvadranty. V tomto případě je bod (P) v rovině dán vzdáleností, která existuje mezi osami a P.

- Polární souřadnicový systém (dvourozměrný). V tomto případě je systém složen z bodu O (počátek), který se nazývá pól, a paprsku s počátkem v O, který se nazývá polární osa. V tomto případě je bod P roviny vzhledem k pólu a polární ose dán úhlem (Ɵ), který je tvořen vzdáleností mezi počátkem a bodem P.

- Obdélníkový trojrozměrný systém tvořený třemi kolmými čarami (x, y, z), jejichž počátek je bodem O v prostoru. Tvoří se tři souřadné roviny: xy, xz a yz; prostor bude rozdělen do osmi oblastí zvaných oktants. Odkaz na bod P v prostoru je dán vzdáleností, která existuje mezi rovinami a P.

Velikost

Velikost je fyzická veličina, kterou lze spočítat nebo změřit pomocí číselné hodnoty, jako v případě některých fyzikálních jevů; mnohokrát je však nutné tyto jevy popsat jinými faktory než numerickými. Proto jsou velikosti rozděleny do dvou typů:

Skalární velikost

Jsou to množství, která jsou definována a vyjádřena číselně; tj. modulem spolu s měrnou jednotkou. Například:

a) Čas: 5 sekund.

b) Hmotnost: 10 kg.

c) Objem: 40 ml.

d) Teplota: 40 ° C.

Velikost vektoru

Jsou to veličiny, které jsou definovány a reprezentovány modulem společně s jednotkou, jakož i smyslem a směrem. Například:

a) Rychlost: (5 - 3ĵ) m / s.

b) zrychlení: 13 m / s ²; S 45º E.

c) Síla: 280 N, 120 °.

d) Hmotnost: -40 ĵ kg-f.

Množství vektorů jsou graficky znázorněna vektory.

Co jsou vektory?

Vektory jsou grafické znázornění vektorového množství; to znamená, že se jedná o úsečky, ve kterých jejich konečný konec je špičkou šipky.

Ty jsou určeny jeho modulem nebo délkou segmentu, jeho směrem, který je označen špičkou jeho šipky a jeho směrem podle linie, do které patří. Původ vektoru je také známý jako místo aplikace.

Prvky vektoru jsou následující:

Modul

Je to vzdálenost od počátku do konce vektoru, představovaná skutečným číslem spolu s jednotkou. Například:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adresa

Je to míra úhlu, který existuje mezi osou x (z pozitivního) a vektoru, stejně jako kardinální body (sever, jih, východ a západ).

Smysl

Je dán šipkou umístěnou na konci vektoru, což ukazuje, kam směřuje.

Klasifikace vektorů

Obecně jsou vektory klasifikovány jako:

Opraven vektor

Je to ten, jehož místo použití (původ) je pevné; to znamená, že zůstává spojen s bodem v prostoru, takže se v něm nemůže pohybovat.

Volný vektor

Může se volně pohybovat v prostoru, protože jeho původ se pohybuje do libovolného bodu, aniž by se měnil jeho modul, směr nebo směr.

Posuvník vektor

Je to ten, kdo může přenášet svůj původ podél své linie působení, aniž by změnil svůj modul, směr nebo směr.

Vlastnosti vektorů

Mezi hlavní vlastnosti vektorů patří:

Vektory týmové

Jsou to volné vektory, které mají stejný modul, směr (nebo jsou rovnoběžné) a mají smysl jako posuvný vektor nebo pevný vektor.

Ekvivalentní vektory

Vyskytuje se, když dva vektory mají stejný směr (nebo jsou rovnoběžné), stejný smysl a navzdory tomu, že mají různé moduly a místa aplikace, způsobují stejné účinky.

Rovnost vektorů

Mají stejný modul, směr a smysl, i když se jejich počáteční body liší, což umožňuje paralelnímu vektoru přeložit se, aniž by to ovlivnilo.

Opačné vektory

Jsou to ty, které mají stejný modul a směr, ale jejich význam je opačný.

Jednotkový vektor

Je to modul, ve kterém se modul rovná jednotce (1). To se získá dělením vektoru jeho modulem a používá se ke stanovení směru a smyslu vektoru, buď v rovině, nebo v prostoru, za použití základních nebo normalizovaných jednotkových vektorů, které jsou:

Nulový vektor

Je to modul, jehož modul je roven 0; to znamená, že jeho místo původu a konec se shodují ve stejném bodě.

Složky vektoru

Složky vektoru jsou hodnoty projekcí vektoru na osách referenčního systému; V závislosti na rozkladu vektoru, který může být na dvou nebo trojrozměrných osách, budou získány dvě, respektive tři složky.

Složky vektoru jsou reálná čísla, která mohou být kladná, záporná nebo dokonce nula (0).

Pokud tedy máme vektor Â, který má původ v pravoúhlém souřadném systému v rovině xy (dvourozměrný), je projekce na ose x Âx a projekce na ose y je yy. Vektor bude tedy vyjádřen jako součet jeho komponentních vektorů.

Příklady

První příklad

Máme vektor, který začíná od počátku a jsou uvedeny souřadnice jeho konců. Vektor tedy = ((_x, _AY) = (4, 5) cm.

Pokud vektor působí na počátek trojrozměrného trojúhelníkového souřadnicového systému (ve vesmíru) x, y, z, až do jiného bodu (P), budou projekce na jeho osách x, γ a Āz; tak bude vektor vyjádřen jako součet jeho tří komponentních vektorů.

Druhý příklad

Máme vektor, který začíná od počátku a jsou uvedeny souřadnice jeho konců. To znamená, že vektor A = (A _x, A _r, _z) = (4, 6, -3) cm.

Vektory, které mají své pravoúhlé souřadnice, mohou být vyjádřeny jako základní vektory. Proto musí být každá souřadnice vynásobena pouze svým příslušným jednotkovým vektorem tak, aby pro rovinu a prostor byly následující:

Pro letadlo: Â = A _x i + A _y j.

Pro prostor: Â = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektorové operace

Existuje mnoho veličin, které mají modul, smysl a směr, jako je mimo jiné zrychlení, rychlost, posun, síla.

Jsou aplikovány v různých oblastech vědy a pro jejich použití je v některých případech nutné provádět operace, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení vektorů a skalárů.

sčítání a odčítání vektorů

Sčítání a odčítání vektorů je považováno za jedinou algebraickou operaci, protože odčítání lze zapsat jako součet; například, odčítání vektorů a Ē může být vyjádřeno jako:

Â - Ē = Â + (-Ē)

Existují různé metody, jak provádět sčítání a odčítání vektorů: mohou být grafické nebo analytické.

Grafické metody

Používá se, když má vektor modul, směr a směr. K tomu jsou nakresleny čáry, které tvoří obrázek, který později pomůže určit výsledek. Mezi nejznámější patří:

Parallelogramová metoda

Pro sčítání nebo odčítání dvou vektorů je na souřadnicové ose vybrán společný bod - který bude představovat bod původu vektorů - při zachování jeho modulu, směru a směru.

Čáry jsou pak nakresleny rovnoběžně s vektory a vytvářejí rovnoběžník. Výsledný vektor je úhlopříčka, která jde z bodu původu obou vektorů do vrcholu rovnoběžníku:

Metoda trojúhelníku

V této metodě jsou vektory umístěny jeden po druhém, přičemž si zachovávají své moduly, směry a směry. Výsledný vektor bude spojením počátku prvního vektoru s koncem druhého vektoru:

Analytické metody

Geometrickou nebo vektorovou metodou lze přidat nebo odečíst dva nebo více vektorů:

Geometrická metoda

Když dva vektory vytvoří trojúhelník nebo rovnoběžník, m).push ({});

- Skalární distribuční vlastnost: je-li vektor násoben součtem dvou skalárů, rovná se násobení vektoru pro každý skalár.

Násobení vektorů

Násobení nebo součin vektorů by mohlo být provedeno jako sčítání nebo odčítání, ale tak to ztratí svůj fyzický význam a v aplikacích se téměř nikdy nenachází. Z tohoto důvodu jsou nejčastěji používanými typy produktů skalární a vektorový produkt.

Skalární produkt

Je také znám jako tečkový produkt dvou vektorů. Když jsou moduly dvou vektorů násobeny kosinem nejmenšího úhlu mezi nimi, získá se skalár. Pro vyjádření skalárního produktu mezi dvěma vektory se mezi ně umístí bod, který lze definovat jako:

Hodnota úhlu, který existuje mezi dvěma vektory, bude záviset na tom, zda jsou rovnoběžné nebo kolmé; musíte tedy:

- Pokud jsou vektory rovnoběžné a mají stejný smysl, cosine 0º = 1.

- Pokud jsou vektory rovnoběžné a mají opačné směry, cosinus 180 ° = -1.

- Pokud jsou vektory kolmé, cosine 90º = 0.

Tento úhel lze také spočítat s vědomím, že:

Produkt dot má následující vlastnosti:

- Komutativní vlastnost: Pořadí vektorů nemění skalár.

-Distribuční vlastnost: je-li skalár vynásoben součtem dvou vektorů, rovná se násobení skaláru pro každý vektor.

Vektorový produkt

Násobení vektoru nebo křížový produkt dvou vektorů A a B povede k vytvoření nového vektoru C a je vyjádřena křížením mezi vektory:

Nový vektor bude mít své vlastní charakteristiky. Takto:

- Směr: tento nový vektor bude kolmý na rovinu, která je určena původními vektory.

- Směr: je určován pravítkem pravé ruky, kde se vektor A otáčí směrem k B, což ukazuje směr otáčení prsty a směr vektoru je označen palcem.

- Modul: je určen násobením modulů vektorů AxB, sinusem nejmenšího úhlu, který existuje mezi těmito vektory. Vyjadřuje se:

Hodnota úhlu, který existuje mezi dvěma vektory, bude záviset na tom, zda jsou rovnoběžné nebo kolmé. Je tedy možné uvést následující:

- Jsou-li vektory rovnoběžné a mají stejný smysl, sinus 0 ° = 0.

- Jsou-li vektory rovnoběžné a mají opačné směry, sinus 180 ° = 0.

- Jsou-li vektory kolmé, sinusový 90º = 1.

Když je vektorový produkt vyjádřen pomocí základních vektorů, máme: