AXIOMATICKÁ METODA: VLASTNOSTI, KROKY, PŘÍKLADY - KULTURNÍ SLOVNÍK - 2025

Axiomatická metoda nebo také volal Axiomatics je formální postup používaný vědy, jehož prostřednictvím závěrka nebo problémy nazývané axiomy jsou formulovány, vzájemně spojeny pomocí vztahu uznatelnosti a které jsou základem hypotéz nebo podmínek určitého systému.

Tato obecná definice musí být koncipována v rámci evoluce, kterou tato metodika měla v historii. Zaprvé existuje antická nebo obsahová metoda, která se narodila ve starověkém Řecku z Euclidu a později byla vyvinuta Aristotelem.

Za druhé, už v 19. století, vzhled geometrie s axiomy odlišnými od Euclidových. A konečně, formální nebo moderní axiomatická metoda, jejíž největším exponentem byl David Hilbert.

Kromě svého vývoje v průběhu času byl tento postup základem deduktivní metody, která se používá v geometrii a logice, odkud pochází. Používá se také ve fyzice, chemii a biologii.

A to dokonce bylo použito v právní vědě, sociologii a politické ekonomii. V současné době je však její nejdůležitější sférou aplikace matematika a symbolická logika a některá odvětví fyziky, jako je termodynamika, mechanika, mimo jiné disciplíny.

vlastnosti

Přestože základní charakteristikou této metody je formulace axiomů, ne vždy se o nich uvažovalo stejným způsobem.

Existují některé, které lze libovolně definovat a konstruovat. A další, podle modelu, ve kterém je intuitivně brána v úvahu jeho zaručená pravda.

Aby bylo možné konkrétně pochopit, z čeho tento rozdíl a jeho důsledky sestávají, je třeba projít vývojem této metody.

Starověká nebo obsahová axiomatická metoda

Je to ta, která byla založena ve starověkém Řecku k 5. století před naším letopočtem. Základním dílem této fáze jsou elementy Euklidu, ačkoli se má za to, že před ním, Pythagoras, se již narodil axiomatický způsob.

Řekové tedy berou určitá fakta jako axiomy, aniž by potřebovali jakýkoli logický důkaz, tj. Bez nutnosti dokazování, protože pro ně jsou samozřejmou pravdou.

Euclid představuje pro geometrii pět axiomů:

1 - Vzhledem ke dvěma bodům existuje čára, která je obsahuje nebo se k nim připojuje.

2-Jakýkoli segment lze na obou stranách plynule rozšiřovat v neomezené řadě.

3 - Můžete nakreslit kruh, který má střed v kterémkoli bodě a libovolném poloměru.

4-Správné úhly jsou stejné.

5 - Po přímce a bodě, který v ní není, je přímka rovnoběžná s tímto bodem. Tento axiom je později znám jako axiom rovnoběžky a byl také vyjádřen jako: jedna rovnoběžka může být nakreslena z bodu vně linie.

Euclid i pozdější matematici se však shodují v tom, že pátá axioma není tak intuitivně jasná jako ostatní 4. I během renesance je učiněn pokus odvodit pátou z ostatních 4, ale není to možné.

To způsobilo, že již v XIX. Století byli ti, kdo udržovali pět, pro euklidovskou geometrii a ti, kteří popírali pátou, byli ti, kteří vytvořili neeuklidovské geometrie.

Neeuklidovská axiomatická metoda

Právě Nikolai Ivanovič Lobachevski, János Bolyai a Johann Karl Friedrich Gauss vidí možnost vytvořit, aniž by to bylo v rozporu, geometrii, která pochází ze systémů jiných axiomů, než jsou Euclidovy systémy. Toto ničí víru v absolutní pravdu nebo a priori axiomů a teorií, které z nich vyplývají.

V důsledku toho se axiomy začnou chápat jako výchozí body pro danou teorii. Také jeho volba a problém její platnosti v tom či oním smyslu začínají souviset s faktami mimo axiomatickou teorii.

Tímto způsobem se objevují geometrické, algebraické a aritmetické teorie budované pomocí axiomatické metody.

Tato fáze vrcholí vytvořením axiomatických systémů pro aritmetiku jako Giuseppe Peano's v roce 1891; David Hubertova geometrie v roce 1899; prohlášení a predikční výpočty Alfreda Northa Whiteheada a Bertranda Russella v Anglii v roce 1910; Axiomatická teorie souborů Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela v roce 1908.

Moderní nebo formální axiomatická metoda

Je to David Hubert, kdo iniciuje koncepci formální axiomatické metody a vede k jejímu vyvrcholení David Hilbert.

Právě Hilbert formalizuje vědecký jazyk, přičemž jeho výroky považuje za vzorce nebo posloupnosti znaků, které samy o sobě nemají význam. Význam získávají pouze v určité interpretaci.

V "Základy geometrie" vysvětluje první příklad této metodologie. Od této chvíle se geometrie stává vědou čistě logických důsledků, které jsou získány ze systému hypotéz nebo axiomů, lépe artikulovaných než euklidovský systém.

Je to proto, že ve starém systému je axiomatická teorie založena na důkazech axiomů. Zatímco v základu formální teorie, to je dáno demonstrací non-rozpor jeho axiomů.

Kroky

Postup, který provádí axiomatické strukturování ve vědeckých teoriích, uznává:

a-výběr určitého počtu axiomů, tj. množství návrhů určité teorie, které jsou přijímány, aniž by bylo nutné prokazovat.

b-koncepty, které jsou součástí těchto výroků, nejsou stanoveny v rámci dané teorie.

c - jsou stanovena pravidla definice a dedukce dané teorie a umožňují zavedení nových konceptů do teorie a logicky odvozují některé návrhy od ostatních.

d-další tvrzení teorie, tj. věta, jsou odvozena od a na základě c.

Příklady

Tato metoda může být ověřena důkazem dvou nejznámějších euklidovských vět: věty o nohách a věty o výšce.

Oba vyplývají z pozorování tohoto řeckého geometru, že když je výška vzhledem k přepážce vynesena v pravém trojúhelníku, objeví se další dva trojúhelníky originálu. Tyto trojúhelníky jsou si navzájem podobné a zároveň podobné trojúhelníku původu. To předpokládá, že jejich příslušné homologní stránky jsou přiměřené.

Je vidět, že shodné úhly v trojúhelnících tímto způsobem ověřují podobnost, která existuje mezi třemi zapojenými trojúhelníky podle kritéria podobnosti AAA. Toto kritérium platí, že když dva trojúhelníky mají všechny stejné úhly, jsou podobné.

Jakmile se ukáže, že trojúhelníky jsou podobné, lze stanovit proporce uvedené v první větě. Stejné tvrzení, že v pravoúhlém trojúhelníku je měřítkem každé nohy geometrický poměrný průměr mezi přepážkou a projekcí nohy na ni.

Druhá věta je věta o výšce. Specifikuje, že jakýkoli pravoúhlý trojúhelník, který je nakreslen podle přepážky, je geometrický poměrný poměr mezi segmenty, které jsou určovány uvedeným geometrickým průměrem na přepážce.

Obě věty mají samozřejmě mnoho aplikací po celém světě nejen ve výuce, ale také ve strojírenství, fyzice, chemii a astronomii.

Reference

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrie, formalismus a intuice: David Hilbert a formální axiomatická metoda (1895-1905). Revista de Filosofía, svazek 39 č. 2, str. 211-146. Převzato z časopisů.ucm.es.
2. Hilbert, Davide. (1918) Axiomatické myšlení. V editoru W. Ewalda, od Kant po Hilbert: zdrojová kniha o založení matematiky. Svazek II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Co je to axiomatická metoda? Synthese, listopad 2011, svazek 189, str. 69-85. Převzato z odkazu.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Úvod do současné filosofie práva. (str. 48-49). Převzato z books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatická metoda, čtení Ricarda Nirenberga, podzim 1996, univerzita v Albany, projekt Renaissance. Převzato z Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mezi formální a neformální stránkou matematiky. Rukopis sv. 38 ne. 2, Campinas červenec / srpen 2015. Převzato z scielo.br.