Úhel vepsaný kruhu, je ten, který má svůj vrchol na kružnici a jeho paprsky jsou sečna nebo tečna k ní. V důsledku toho bude zapsaný úhel vždy vypuklý nebo plochý.
Na obrázku 1 je znázorněno několik úhlů vyznačených na jejich příslušných obvodech. Úhel ∠EDF je napsán tak, že jeho obvod D je po obvodu a jeho dva paprsky.
V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly sousedící se základnou stejné, proto thereforeBCO = ∠ABC = α. Na druhé straně ∠COB = 180º - β.
S ohledem na součet vnitřních úhlů trojúhelníku COB máme:
a + a + (180 ° - β) = 180 °
Z toho vyplývá, že 2 α = β, nebo co je ekvivalentní: α = β / 2. To souhlasí s tím, co je uvedeno v teorémě 1: míra zapsaného úhlu je polovina středového úhlu, pokud oba úhly svírají stejný akord.
Ukázka 1b
Obrázek 6. Pomocná konstrukce, která ukazuje, že a = β / 2. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
V tomto případě máme vyznačený úhel ∠ABC, ve kterém je střed O kruhu uvnitř úhlu.
Pro prokázání věty 1 v tomto případě nakreslete pomocný paprsek).push ({});
Podobně, středový úhel p 1 a β 2 jsou přilehlé k uvedenému paprsek. Máme tedy stejné situaci jako výstavní 1a, takže lze říci, že α 2 = β 2 /2 a a 1 = β 1 /2. Jako α = α 1 + α 2 a β = β 1 + β 2 mají proto, že α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / dva.
Závěrem α = β / 2, které splňuje věta 1.
- Věta 2
Obrázek 7. Úhlové úhly stejného měřítka α, protože svírají stejný oblouk A⌒C. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
- Věta 3
Zapsané úhly, které přidávají akordy stejného měřítka, jsou stejné.
Obrázek 8. Vložené úhly, které přidávají akordy stejného měřítka, mají stejné měřítko β. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
Příklady
- Příklad 1
Ukažte, že zapsaný úhel, který podtrhuje průměr, je pravý úhel.
Řešení
Středový úhel ∠AOB spojený s průměrem je rovinný úhel, jehož míra je 180 °.
Podle věty 1 má každý úhel popsaný na obvodu, který leží na stejném akordu (v tomto případě na průměru), jako měřítko polovinu středového úhlu, který se shoduje se stejným akordem, což je pro náš příklad 180 ° / 2 = 90 °.
Obrázek 9. Každý zapsaný úhel, který se svírá podle průměru, je pravý úhel. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
- Příklad 2
Čára (BC) tečná v bodě A k obvodu C určuje úhlem ∠BAC (viz obrázek 10).
Ověřte, že věta 1 z napsaných úhlů je splněna.
Obrázek 10. Úhel záběru BAC a jeho středový konvexní úhel AOA. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
Řešení
Úhel ∠BAC je zapsán, protože jeho vrchol je na obvodu a jeho strany [AB] a [AC) jsou tečné k obvodu, takže je definice vloženého úhlu splněna.
Na druhé straně, zapsaný úhel ∠BAC svírá oblouk A⌒A, což je celý obvod. Středový úhel, který svírá oblouk A⌒A, je konvexní úhel, jehož míra je plný úhel (360 °).
Vložený úhel, který zasahuje celý oblouk, měří polovinu přidruženého středového úhlu, tj. ACBAC = 360 ° / 2 = 180 °.
Se vším výše uvedeným se ověřuje, že tento konkrétní případ splňuje teorém 1.
Reference
- Baldor. (1973). Geometrie a trigonometrie. Středoamerické kulturní vydavatelství.
- EA (2003). Geometrické prvky: s cvičeními a kompasovou geometrií. University of Medellin.
- Geometrie 1. ESO. Úhly po obvodu. Obnoveno z: edu.xunta.es/
- Celá věda. Navrhovaná cvičení úhlů po obvodu. Obnoveno z: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Zapsaný úhel. Obnoveno z: es.wikipedia.com