NULOVÝ ÚHEL: DEFINICE A VLASTNOSTI, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Úhel null je ten, jehož opatření je 0, a to jak ve stupních a v radiánech nebo jiném systému měření úhlu. Proto postrádá šířku nebo otvor, podobně jako šířka vytvořená mezi dvěma rovnoběžnými čarami.

Ačkoli její definice zní dostatečně jednoduše, nulový úhel je velmi užitečný v mnoha fyzikálních a inženýrských aplikacích, jakož i v navigaci a designu.

Obrázek 1. Mezi rychlostí a zrychlením automobilu je nulový úhel, proto auto jede rychleji a rychleji. Zdroj: Wikimedia Commons.

Existují fyzické veličiny, které musí být vyrovnány paralelně, aby se dosáhlo určitých efektů: pokud se auto pohybuje přímou cestou podél dálnice a mezi vektorem rychlosti v a jeho vektorem zrychlení a je 0 °, auto se pohybuje rychleji a rychleji, ale pokud auto brzda, jeho zrychlení je opačné než jeho rychlost (viz obrázek 1).

Následující obrázek ukazuje různé typy úhlů včetně nulového úhlu vpravo. Jak je vidět, úhel 0 ° postrádá šířku nebo otevření.

Obrázek 2. Typy úhlů, včetně nulového úhlu. Zdroj: Wikimedia Commons. Orias.

Příklady nulových úhlů

Je známo, že rovnoběžné čáry spolu vytvářejí nulový úhel. Pokud máte vodorovnou čáru, je rovnoběžná s osou x kartézského souřadného systému, a proto její sklon vzhledem k ní je 0. Jinými slovy, vodorovné čáry mají nulový sklon.

Obrázek 3. Vodorovné čáry mají nulový sklon. Zdroj: F. Zapata.

Také trigonometrické poměry nulového úhlu jsou 0, 1 nebo nekonečno. Nulový úhel je proto přítomen v mnoha fyzických situacích, které zahrnují operace s vektory. Jsou to tyto důvody:

-sin 0 ° = 0

-co 0 ° = 1

-tg 0 ° = 0

-sek 0 ° = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Budou užitečné analyzovat některé příklady situací, ve kterých přítomnost nulového úhlu hraje zásadní roli:

- Účinky nulového úhlu na fyzickou velikost

Vektorové sčítání

Když jsou dva vektory rovnoběžné, úhel mezi nimi je nula, jak je vidět na obrázku 4a výše. V tomto případě je součet obou proveden umístěním jeden po druhém a velikost součtového vektoru je součtem velikostí aditiv (obrázek 4b).

Obrázek 4. Součet paralelních vektorů, v tomto případě je úhel mezi nimi nulový úhel. Zdroj: F. Zapata.

Když jsou dva vektory rovnoběžné, úhel mezi nimi je nula, jak je vidět na obrázku 4a výše. V tomto případě je součet obou proveden umístěním jeden po druhém a velikost součtového vektoru je součtem velikostí aditiv (obrázek 4b)

Krouticí moment nebo krouticí moment

Točivý moment nebo točivý moment způsobuje rotaci těla. Závisí to na velikosti použité síly a na tom, jak je aplikována. Velmi reprezentativním příkladem je klíč na obrázku.

Pro dosažení nejlepšího účinku otáčení je síla aplikována kolmo na kliku klíče, a to buď nahoru nebo dolů, ale neočekává se žádná rotace, pokud je síla rovnoběžná s rukojetí.

Obrázek 5. Když je úhel mezi polohami a silovými vektory nulový, nevzniká žádný točivý moment, a proto nedochází k žádnému točivému efektu. Zdroj: F. Zapata.

Matematicky je točivý moment τ je definován jako vektor nebo produkt součin mezi vektory r (polohový vektor) a F (vektor síly) na obrázku 5:

τ = r x F

Velikost točivého momentu je:

τ = r F sin θ

Θ je úhel mezi r a F. Když sin θ = 0 je točivý moment nulový, v tomto případě θ = 0 ° (nebo také 180 °).

Tok elektrického pole

Tok elektrického pole je skalární veličina, která závisí na intenzitě elektrického pole a na orientaci povrchu, kterým prochází.

Na obrázku 6 je kruhový povrch oblasti A, kterým prochází vedení E elektrického pole. Orientace povrchu je dána normálním vektorem n. Vlevo pole a normální vektor tvoří libovolný ostrý úhel 9, ve středu mezi sebou tvoří nulový úhel a napravo jsou kolmé.

Když jsou E a n kolmé, čáry pole nepřecházejí k povrchu, a proto je tok nulový, zatímco když je úhel mezi E a n nulový, čáry zcela procházejí povrchem.

Označení toku elektrického pole řeckým písmenem Φ (přečteno „fi“), jeho definice pro jednotné pole jako na obrázku, vypadá takto:

Φ = E • n A

Bod uprostřed obou vektorů označuje tečkový produkt nebo skalární produkt, který je alternativně definován takto:

Φ = E • n A = EAcosθ

Tučně a šipky nad písmenem jsou prostředky pro rozlišení mezi vektorem a jeho velikostí, která je označena běžnými písmeny. Protože cos 0 = 1, tok je maximální, když E a n jsou rovnoběžné.

Obrázek 6. Tok elektrického pole závisí na orientaci mezi povrchem a elektrickým polem. Zdroj: F. Zapata.

Cvičení

- Cvičení 1

Dvě síly P a Q působí současně na bodový objekt X, obě síly zpočátku tvoří mezi nimi úhel 9. Co se stane s velikostí výsledné síly, když 9 klesne na nulu?

Obrázek 7. Úhel mezi dvěma silami, které působí na těleso, se zmenšuje, dokud není zrušen. V takovém případě velikost výsledné síly získá svou maximální hodnotu. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Velikost výsledné síly Q + P se postupně zvyšuje až do maxima, když jsou Q a P zcela rovnoběžné (obrázek 7 vpravo).

- Cvičení 2

Uveďte, zda je nulový úhel řešením následující trigonometrické rovnice:

Řešení

Trigonometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámý součástí argumentu trigonometrického poměru. Pro vyřešení navržené rovnice je vhodné použít kosinus dvojitého úhlu:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Protože tímto způsobem se argument na levé straně stává x místo 2x. Tak:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Na druhou stranu cos ² x + sin ² x = 1, takže:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Termín cos ² x se ruší a zůstává:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Nyní se provede následující změna proměnné: sinx = u a rovnice se stane:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Čí řešení jsou: u = 0 a u = -4. Vrácením změny bychom měli dvě možnosti: sin x = 0 a sinx = -4. Toto poslední řešení není životaschopné, protože sinus libovolného úhlu je mezi -1 a 1, takže nám zbývá první alternativa:

sin x = 0

Proto x = 0 ° je řešení, ale jakýkoli úhel, jehož sinus je 0, také funguje, což může být také 180 ° (π radiánů), 360 ° (2 π radiánů) a odpovídající negativy.

Nejobecnějším řešením trigonometrické rovnice je: x = kπ kde k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k celé číslo.

Reference

1. Baldor, A. 2004. Rovinná a kosmická geometrie s trigonometrií. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 3. Částicové systémy. Editoval Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 5. Elektrická interakce. Editoval Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Druhy úhlů. Obnoveno z: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometrie a analytická geometrie. McGraw Hill Interamericana.