DOPLŇKOVÉ ÚHLY: KTERÉ A JAK SE POČÍTAJÍ, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Dva nebo více úhlů jsou doplňkové úhly, pokud součet jejich měr odpovídá úhlu pravého úhlu. Jak je známo, míra pravého úhlu ve stupních je 90 ° a v radiánech je π / 2.

Například dva úhly přilehlé k liště pravého trojúhelníku se vzájemně doplňují, protože součet jejich měřítek je 90 °. Následující obrázek je v tomto ohledu velmi ilustrativní:

Obrázek 1. Vlevo několik úhlů se společným vrcholem. Vpravo úhel 60 °, který doplňuje úhel α (alfa). Zdroj: F. Zapata.

Na obrázku 1 jsou znázorněny celkem čtyři úhly. α a β se vzájemně doplňují, protože sousedí a jejich součet dokončí pravý úhel. Podobně β je komplementární k γ, z čehož vyplývá, že γ a α jsou stejné míry.

Nyní, protože součet α a δ je roven 90 stupňům, lze konstatovat, že α a δ se vzájemně doplňují. Dále, protože p a 5 mají stejné komplementární a, lze říci, že p a 5 mají stejnou míru.

Příklady doplňujících se úhlů

Následující příklady žádají o nalezení neznámých úhlů, označených otazníky na obrázku 2.

Obrázek 2. Různé příklady komplementárních úhlů. Zdroj: F. Zapata.

- Příklady A, B a C

Následující příklady jsou seřazeny podle složitosti.

Příklad A

Na obrázku výše máme, že sousední úhly a a 40 ° se sčítají do pravého úhlu. To znamená, a + 40 ° = 90 °, a proto = 90 ° - 40 ° = 50 °.

Příklad B

Protože β je komplementární k úhlu 35 °, pak β = 90 ° - 35 ° = 55 °.

Příklad C

Z obrázku 2C máme součet γ + 15º + 15º = 90º. Jinými slovy, y je komplementární k úhlu 30 ° = 15 ° + 15 °. Aby:

y = 90 ° - 30 ° = 60 °

- Příklady D, E a F

V těchto příkladech je zahrnuto více úhlů. K nalezení neznámých musí čtenář aplikovat koncept komplementárního úhlu tolikrát, kolikrát je to nutné.

Příklad D

Protože X je komplementární k 72 °, znamená to, že X = 90 ° - 72 ° = 18 °. Navíc Y je komplementární k X, takže Y = 90 ° - 18 ° = 72 °.

Konečně Z je komplementární s Y. Z výše uvedeného vyplývá, že:

Z = 90 ° - 72 ° = 18 °

Příklad E

Úhly δ a 2δ jsou komplementární, proto δ + 2δ = 90 °.

To znamená, 3 5 = 90 °, což znamená, že 8 = 90 ° / 3 = 30 °.

Příklad F

Pokud nazýváme úhel mezi que a 10º U, pak je U je doplňkový, protože je pozorováno, že jejich součet vyplňuje pravý úhel. Z toho vyplývá, že U = 80º. Protože U je komplementární k ω, pak ω = 10º.

Cvičení

Níže jsou navržena tři cvičení. Ve všech z nich musí být nalezena hodnota úhlů A a B ve stupních, aby byly splněny vztahy znázorněné na obrázku 3.

Obrázek 3. Ilustrace doplňkových úhlových cvičení. Zdroj: F. Zapata.

- Cvičení 1

Určete hodnoty úhlů A a B z části I) obrázku 3.

Řešení

Z obrázku je vidět, že A a B se vzájemně doplňují, a proto A + B = 90 °. Nahrazujeme výraz A a B jako funkci x danou v části I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Termíny jsou pak vhodně seskupeny a získá se jednoduchá lineární rovnice:

(5x / 2) + 22 = 90

Odečtením 22 u obou členů máme:

5x / 2 = 90 - 22 = 68

Nakonec se hodnota x vynuluje:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Nyní je úhel A nalezen nahrazením hodnoty X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 °.

Zatímco úhel B je:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5th = 69,4 °.

- Cvičení 2

Najděte hodnoty úhlů A a B obrázku II, obrázek 3.

Řešení

Opět, protože A a B jsou komplementární úhly, vyplývá to, že: A + B = 90 °. Nahrazením výrazu A a B jako funkce x dané v části II) obrázku 3 máme:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Stejné termíny jsou seskupeny do rovnice:

6 x + 30 = 90

Rozdělením obou členů na 6 získáte:

x + 5 = 15

Z toho vyplývá, že x = 10º.

Tím pádem:

A = 2 * 10 - 10 = 10 °

B = 4 * 10 + 40 = 80 °.

- Cvičení 3

Určete hodnoty úhlů A a B z části III) na obrázku 3.

Řešení

Obrázek je opět pečlivě analyzován, aby se našly komplementární úhly. V tomto případě máme A + B = 90 stupňů. Nahrazením výrazu A a B jako funkce x uvedené na obrázku máme:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Rozdělení obou členů na 3 vede k následujícím výsledkům:

x + 10 = 30

Z toho vyplývá, že x = 20º.

Jinými slovy, úhel A = -20 +45 = 25 °. A co se týče: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Kolmé boční úhly

Uvádí se, že dva úhly mají kolmé strany, pokud každá strana má odpovídající kolmou stranu na druhé. Následující obrázek objasňuje koncept:

Obrázek 4. Úhly kolmých stran. Zdroj: F. Zapata.

Na obrázku 4 jsou například pozorovány úhly a a 9. Nyní si všimněte, že každý úhel má svou kolmou polohu na druhém úhlu.

Je také vidět, že a a 9 mají stejný komplementární úhel z, proto pozorovatel okamžitě dochází k závěru, že a a 9 mají stejnou míru. Pak se zdá, že pokud dva úhly mají strany kolmé k sobě, jsou si rovny, ale podívejme se na jiný případ.

Nyní zvažte úhly α a ω. Tyto dva úhly mají také odpovídající kolmé strany, nelze však říci, že mají stejné rozměry, protože jeden je ostrý a druhý tupý.

Všimněte si, že ω + θ = 180º. Dále θ = α. Pokud tento výraz nahradíte z v první rovnici, získáte:

δ + α = 180 °, kde δ a α jsou vzájemně kolmé úhly stran.

Obecné pravidlo pro úhly kolmých stran

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a kosmická geometrie. Středoamerický kulturní.
2. Matematické zákony a vzorce. Systémy pro měření úhlu. Obnoveno z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Obnoveno z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Doplňkové úhly. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Dopravník. Obnoveno z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historie, díly, operace. Obnoveno z: lifeder.com