DOPLŇKOVÉ ÚHLY: CO JSOU, VÝPOČET, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Dva nebo více jsou doplňkové úhly, pokud součet jejich měr odpovídá úhlu přímého úhlu. Míra přímého úhlu, také nazývaného rovinný úhel, ve stupních je 180 ° a v radiánech je π.

Zjistíme například, že tři vnitřní úhly trojúhelníku jsou doplňkové, protože součet jejich měřítek je 180 °. Na obrázku 1 jsou znázorněny tři úhly. Z výše uvedeného vyplývá, že α a β jsou doplňkové, protože sousedí a jejich součet dokončí přímý úhel.

Obrázek 1: a a p jsou doplňkové. α a γ jsou doplňkové. Zdroj: F. Zapata.

Na stejném obrázku máme také úhly α a γ, které jsou také doplňkové, protože součet jejich měřítek se rovná míře rovinného úhlu, tj. 180 °. Nelze říci, že úhly β a γ jsou doplňkové, protože protože oba úhly jsou tupé, jejich rozměry jsou větší než 90 °, a proto jejich součet přesahuje 180 °.

Zdroj: lifeder.com

Místo toho lze říci, že míra úhlu β je stejná jako míra úhlu γ, protože pokud β je doplňkem k α a γ je doplňkem k α, pak β = γ = 135 °.

Příklady

V následujících příkladech je požadováno nalezení neznámých úhlů, označených otazníky na obrázku 2. sahají od nejjednodušších příkladů po některé trochu propracovanější, aby čtenář měl být opatrnější.

Obrázek 2. Několik vypracovaných příkladů doplňkových úhlů. Zdroj: F. Zapata.

Příklad A

Na obrázku máme to, že sousední úhly a a 35 ° se přidají k rovinnému úhlu. To znamená, že α + 35 ° = 180 °, a proto je pravda, že: α = 180 ° - 35 ° = 145 °.

Příklad B

Protože β je doplňkový s úhlem 50 °, znamená to, že β = 180 ° - 50 ° = 130 °.

Příklad C

Z obrázku 2C lze pozorovat následující součet: γ + 90 ° + 15 ° = 180 °. To znamená, že γ je doplňkový s úhlem 105 ° = 90 ° + 15 °. Došlo se tedy k závěru, že:

y = 180 ° - 105 ° = 75 °

Příklad D

Protože X je doplňkový k 72 °, znamená to, že X = 180 ° - 72 ° = 108 °. Navíc Y je doplněk k X, takže Y = 180 ° - 108 ° = 72 °.

A konečně Z je doplňkový s 72 °, proto Z = 180 ° - 72 ° = 108 °.

Příklad E

Úhly δ a 2δ jsou doplňkové, proto δ + 2δ = 180 °. Což znamená, že 3 5 = 180 °, a to nám zase umožňuje psát: 5 = 180 ° / 3 = 60 °.

Příklad F

Pokud nazýváme úhel mezi 100 ° a 50 ° U, pak je U je doplňkový, protože je pozorováno, že jejich součet dokončí rovinný úhel.

Z toho okamžitě vyplývá, že U = 150 °. Protože U je protilehlým vrcholem k W, pak W = U = 150 °.

Cvičení

Níže jsou navržena tři cviky, ve všech z nich musí být nalezena hodnota úhlů A a B ve stupních, aby byly splněny vztahy znázorněné na obrázku 3. Při jejich řešení se používá koncept doplňkových úhlů.

Obrázek 3. Obrázek k vyřešení cvičení I, II a III na doplňkových úhlech. Všechny úhly jsou ve stupních. Zdroj: F. Zapata.

- Cvičte já

Určete hodnoty úhlů A a B z části I) obrázku 3.

Řešení

A a B jsou doplňkové, od kterých máme, že A + B = 180 stupňů, pak je výraz A a B nahrazen jako funkce x, jak se zdá na obrázku:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Získá se lineární rovnice prvního řádu. Pro vyřešení jsou termíny seskupeny níže:

6 x + 60 = 180

Dělíme-li oba členy 6, máme:

x + 10 = 30

A konečně vyřešíme, že x má hodnotu 20º.

Nyní musíme připojit hodnotu x, abychom našli požadované úhly. Úhel A je tedy: A = 20 +15 = 35 °.

A pokud jde o jeho část, úhel B je B = 5 * 20 + 45 = 145 °.

- Cvičení II

Najděte hodnoty úhlů A a B z části II) na obrázku 3.

Řešení

Protože A a B jsou doplňkové úhly, máme A + B = 180 stupňů. Nahrazením výrazu A a B jako funkce x dané v části II) obrázku 3 máme:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Znovu se získá rovnice prvního stupně, pro kterou musí být termíny vhodně seskupeny:

6 x + 60 = 180

Dělíme-li oba členy 6, máme:

x + 10 = 30

Z toho vyplývá, že x má hodnotu 20º.

Jinými slovy, úhel A = -2 * 20 + 90 = 50 °. Zatímco úhel B = 8 * 20 - 30 = 130 °.

- Cvičení III

Určete hodnoty úhlů A a B z části III) obrázku 3 (zeleně).

Řešení

Protože A a B jsou doplňkové úhly, máme A + B = 180 stupňů. Výraz A a B musíme nahradit jako funkci x uvedenou na obrázku 3, ze kterého máme:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Vydělíme-li oba členy 12 pro řešení hodnoty x, máme:

x + 5 = 15

Nakonec se zjistí, že x má hodnotu 10 stupňů.

Nyní přistoupíme k nahrazení a zjistíme úhel A: A = 5 * 10 -20 = 30 °. A pro úhel B: B = 7 * 10 + 80 = 150 °

Doplňkové úhly ve dvou rovnoběžkách řezané sekáčem

Obrázek 4. Úhly mezi dvěma rovnoběžkami řezané sekáčem. Zdroj: F. Zapata.

Dvě rovnoběžné čáry proříznuté secantem jsou u některých problémů běžnou geometrickou konstrukcí. Mezi těmito liniemi je vytvořeno 8 úhlů, jak je znázorněno na obrázku 4.

Z těchto 8 úhlů jsou některé dvojice úhlů doplňkové, které uvádíme níže:

1. Vnější úhly A a B a vnější úhly G a H
2. Vnitřní úhly D a C a vnitřní úhly E a F
3. Vnější úhly A a G a vnější úhly B a H
4. Vnitřní úhly D a E a interiér C a F

Pro úplnost se také nazývají úhly vzájemně rovné:

1. Vnitřní náhradníci: D = F a C = E
2. Externí náhradníci: A = H a B = G
3. Odpovídající: A = E a C = H
4. Protiklady vrcholů A = C a E = H
5. Odpovídající: B = F a D = G
6. Vertexové protiklady B = D a F = G

- Cvičení IV

S odkazem na obrázek 4, který ukazuje úhly mezi dvěma rovnoběžnými čarami proříznutými secantem, určete hodnotu všech úhlů v radiánech s vědomím, že úhel A = π / 6 radiánů.

Řešení

A a B jsou doplňkové vnější úhly, takže B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = 1/6

B = F = D = G = 5π / 6

Reference

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a kosmická geometrie. Středoamerický kulturní.
2. Matematické zákony a vzorce. Systémy pro měření úhlu. Obnoveno z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Obnoveno z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Doplňkové úhly. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Dopravník. Obnoveno z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historie, díly, operace. Obnoveno z: lifeder.com