CO JSOU TRIGONOMETRICKÉ LIMITY? (CVIČENÍ VYŘEŠENA) - MATEMATIKA - 2025

Tyto goniometrické limity jsou limity pracuje tak, že tyto funkce jsou tvořeny goniometrické funkce.

Abychom pochopili, jak vypočítat trigonometrický limit, musí být známy dvě definice.

Jedná se o tyto definice:

- Mezní hodnota funkce «f», když «x» má sklon k «b»: spočívá ve výpočtu hodnoty, ke které se f (x) přiblíží, když se «x» přiblíží «b», aniž by dosáhla «b» ».

- Trigonometrické funkce: trigonometrické funkce jsou sinusové, kosinové a tečné funkce, označené sinem (x), cos (x) a tan (x).

Ostatní trigonometrické funkce jsou získány ze tří výše uvedených funkcí.

Funkční limity

Abychom objasnili koncept limitu funkce, ukážeme několik příkladů s jednoduchými funkcemi.

- Mezní hodnota f (x) = 3, když "x" má sklon k "8", se rovná "3", protože funkce je vždy konstantní. Bez ohledu na to, kolik stojí „x“, bude hodnota f (x) vždy „3“.

- Mezní hodnota f (x) = x-2, když «x» má sklon k «6», je «4». Odkdyž se "x" blíží "6", pak "x-2" se blíží "6-2 = 4".

- Mezní hodnota g (x) = x², když "x" má sklon k "3", se rovná 9, protože když "x" se blíží "3", pak "x²" se blíží "3² = 9".

Jak je vidět na předchozích příkladech, výpočet limitu spočívá v vyhodnocení hodnoty, ke které „x“ má tendenci ve funkci, a výsledkem bude hodnota limitu, i když to platí pouze pro spojité funkce.

Existují komplikovanější limity?

Odpověď je ano. Výše uvedené příklady jsou nejjednoduššími příklady limitů. V knihách počtu jsou hlavními limitními cvičeními taková cvičení, která generují neurčitost typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 a (∞) ^ 0.

Tyto výrazy se nazývají neurčité, protože se jedná o výrazy, které matematicky nedávají smysl.

Kromě toho, v závislosti na funkcích zahrnutých v původním limitu, může být výsledek získaný při řešení indeterminací v každém případě odlišný.

Příklady jednoduchých trigonometrických limitů

K vyřešení limitů je vždy velmi dobré znát grafy příslušných funkcí. Níže jsou uvedeny grafy funkcí sinus, cosinus a tangens.

Některé příklady jednoduchých trigonometrických limitů jsou:

- Vypočítejte limit hříchu (x), když «x» má sklon k «0».

Při pohledu na graf lze vidět, že pokud se „x“ přiblíží k „0“ (zleva i zprava), sinusový graf se také přiblíží k „0“. Proto limit hříchu (x), když "x" má sklon k "0", je "0".

- Vypočítejte limit cos (x), když «x» má sklon k «0».

Při pozorování grafu kosinu je vidět, že když je "x" blízko "0", pak je graf kosinu blízko "1". To znamená, že limit cos (x), když "x" má sklon k "0", je roven "1".

Limit může existovat (být číslem), jako v předchozích příkladech, ale může se také stát, že neexistuje, jak je ukázáno v následujícím příkladu.

- Mez opálení (x), když «x» má tendenci k «Π / 2» zleva, se rovná «+ ∞», jak je vidět na grafu. Na druhé straně je limit tan (x), když "x" má tendenci k "-Π / 2" zprava, roven "-∞".

Trigonometrické mezní identity

Dvě velmi užitečné identity při výpočtu trigonometrických limitů jsou:

- Limit «sin (x) / x», když «x» má tendenci «0», je roven «1».

- Limit «(1-cos (x)) / x», když «x» má sklon k «0», se rovná «0».

Tyto identity se používají velmi často, pokud máte nějaký druh neurčitosti.

Řešená cvičení

Vyřešte následující limity pomocí identit popsaných výše.

- Vypočítejte limit «f (x) = sin (3x) / x», když «x» má sklon k «0».

Pokud je funkce "f" vyhodnocena na "0", získá se neurčitost typu 0/0. Proto se musíme pokusit vyřešit tuto neurčitost pomocí popsaných identit.

Jediným rozdílem mezi tímto limitem a identitou je číslo 3, které se objevuje v rámci sinusové funkce. Pro použití identity musí být funkce «f (x)» přepsána následujícím způsobem «3 * (sin (3x) / 3x)». Nyní jsou jak sine argument, tak jmenovatel stejné.

Když tedy „x“ inklinuje k „0“, použití identity dává „3 * 1 = 3“. Proto limit f (x), když "x" má sklon k "0", je roven "3".

- Vypočítejte limit «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», když «x» má sklon k «0».

Když je v g (x) nahrazeno "x = 0", získá se neurčitost typu ∞-∞. Aby se vyřešily, frakce se nejprve odečtou, což dá "(1-cos (x)) / x".

Nyní, při použití druhé trigonometrické identity, máme limit g (x), když «x» má sklon k «0», je roven 0.

- Vypočítejte limit «h (x) = 4tan (5x) / 5x», když «x» má tendenci «0».

Opět, pokud je h (x) vyhodnoceno na "0", získá se neurčitost typu 0/0.

Přepsání jako (5x) jako sin (5x) / cos (5x) vede k h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Při použití tohoto limitu 4 / cos (x), když "x" inklinuje k "0", se rovná "4/1 = 4" a získá se první trigonometrická identita, že limit h (x), když "x" inklinuje "0" se rovná "1 * 4 = 4".

Pozorování

Trigonometrické limity není vždy snadné vyřešit. V tomto článku jsou uvedeny pouze základní příklady.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometrie roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Počet (deváté vydání). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet s časnými transcendentními funkcemi pro vědu a techniku ​​(druhé vydání). Přepona.
9. Scott, CA (2009). Karteziánská rovinná geometrie, část: Analytické kuželosečky (1907) (dotisk ed.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.