LAPLACEOVA TRANSFORMACE: DEFINICE, HISTORIE A K ČEMU SLOUŽÍ - MATEMATIKA - 2025

Laplaceova transformace byl velký význam v posledních letech ve strojírenství, matematiky a fyziky studií, mimo jiné vědních oborů, protože kromě toho, že velký teoretický zájem, poskytuje jednoduchý způsob, jak řešit problémy, které pocházejí z vědy a techniky.

Laplaceova transformace byla původně představena Pierrem-Simónem Laplaceem v jeho studii teorie pravděpodobnosti a byla zpočátku považována za matematický objekt čistě teoretického zájmu.

Současné aplikace vznikají, když se různí matematici pokusili dát formální zdůvodnění „operačním pravidlům“ používaným Heavisidem při studiu rovnic elektromagnetické teorie.

Definice

Nechť f je funkce definovaná pro t ≥ 0. Laplaceova transformace je definována takto:

Laplaceova transformace je považována za existující, pokud předchozí integrál konverguje, jinak je Laplaceova transformace považována za neexistující.

Obecně se malá písmena používají k označení funkce, která má být transformována, a velké písmeno odpovídá její transformaci. Tímto způsobem budeme mít:

Příklady

Zvažte konstantní funkci f (t) = 1. Máme její transformaci:

Kdykoli integrál konverguje, to je kdykoli s> 0. Jinak, s <0, integrál se diverguje.

Nechť g (t) = t. Jeho Laplaceova transformace je dána

Integrací po částech a vědomím, že te ^-st inklinuje k 0, když t inklinuje k nekonečnu as> 0, spolu s předchozím příkladem máme:

Transformace může nebo nemusí existovat, například pro funkci f (t) = 1 / t integrál, který definuje jeho Laplaceovu transformaci, nekonverguje, a proto její transformace neexistuje.

Dostatečné podmínky pro zajištění, že Laplaceova transformace funkce f existuje, je to, že f je po částech spojitá pro t ≥ 0 a je v exponenciálním pořadí.

Funkce se říká, že je po částech spojitá pro t ≥ 0, když pro jakýkoli interval s a> 0 existuje konečný počet bodů t _k, kde f má diskontinuity a je spojitý v každém subintervalu.

Na druhé straně se uvádí, že funkce má exponenciální řád c, pokud existují skutečné konstanty M> 0, c a T> 0 tak, že:

Jako příklady jsme, že f (t) = t ² je exponenciální pořadí, protože -t ² - <e ^{3 t} pro všechna t> 0.

Formálně máme následující větu

Věta (Dostatečné podmínky pro existenci)

Jestliže f je částečně spojitá funkce pro t> 0 a exponenciálního řádu c, pak Laplaceova transformace existuje pro s> c.

Je důležité si uvědomit, že se jedná o podmínku dostatečnosti, to znamená, že by se mohlo jednat o funkci, která tyto podmínky nesplňuje, a přesto existuje její Laplaceova transformace.

Příkladem je funkce f (t) = t ^-1/2, která není ^{po částech} spojitá pro t ≥ 0, ale existuje její Laplaceova transformace.

Laplaceova transformace některých základních funkcí

Následující tabulka ukazuje Laplaceovy transformace nejběžnějších funkcí.

Dějiny

Laplaceova transformace vděčí za své jméno francouzskému matematikovi a teoretickému astronomovi Pierrovi-Simonovi Laplaceovi, který se narodil v roce 1749 a zemřel v roce 1827. Jeho sláva byla taková, že byl známý jako francouzský Newton.

V 1744 Leonard Euler věnoval jeho studia integrálům s formou

jako řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale toto šetření rychle opustil. Pozdnější, Joseph Louis Lagrange, kdo velmi obdivoval Eulera, také prozkoumal tyto typy integrálů a spojil je s teorií pravděpodobnosti.

1782, Laplace

V roce 1782 Laplace začal tyto integrály studovat jako řešení diferenciálních rovnic a podle historiků se v roce 1785 rozhodl přeformulovat problém, který později vyvolal Laplaceovy transformace, jak jsou dnes chápány.

Poté, co byl představen do oblasti teorie pravděpodobnosti, byl pro vědce v té době malý zájem a byl vnímán pouze jako matematický objekt pouze teoretického zájmu.

Oliver Heaviside

Bylo to v polovině devatenáctého století, kdy anglický inženýr Oliver Heaviside objevil, že s diferenciálními operátory lze zacházet jako s algebraickými proměnnými, čímž dává Laplaceovi transformaci jejich moderní aplikace.

Oliver Heaviside byl anglický fyzik, elektrotechnik a matematik, který se narodil v Londýně v roce 1850 a zemřel v roce 1925. Zatímco se snažil řešit problémy diferenciální rovnice aplikované na teorii vibrací a pomocí Laplaceova studia, začal formovat Moderní aplikace Laplaceových transformací.

Výsledky prezentované Heavisidem se rychle rozšířily po celé vědecké komunitě té doby, ale protože jeho práce nebyla přísná, byl rychle kritizován tradičními matematiky.

Užitečnost Heavisidovy práce při řešení rovnic ve fyzice však způsobila popularitu jeho metod u fyziků a techniků.

Přes tyto neúspěchy a po několika desetiletích neúspěšných pokusů bylo možné na začátku 20. století důkladně odůvodnit provozní pravidla vydaná Heavisidem.

Tyto pokusy přinesly ovoce díky úsilí různých matematiků, jako je Bromwich, Carson, van der Pol a další.

Vlastnosti

Mezi vlastnosti Laplaceovy transformace patří následující:

Linearita

Nechť c1 a c2 jsou konstanty a funkce f (t) ag (t), jejichž Laplaceovy transformace jsou F (s) a G (s), pak máme:

Kvůli této vlastnosti je Laplaceova transformace považována za lineární operátor.

Příklad

První věta o překladu

Pokud k tomu dojde:

A 'a' je jakékoli skutečné číslo, takže:

Příklad

Od Laplaceovy transformace cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) pak:

Druhá věta o překladu

Ano

Tak

Příklad

Pokud f (t) = t ^ 3, pak F (s) = 6 / s ^ 4. A proto transformace

je G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Změna měřítka

Ano

A 'a' je nenulová realita, musíme

Příklad

Protože transformace f (t) = sin (t) je F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), máme

Laplaceova transformace derivátů

Jestliže f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ jsou spojité pro t ≥ 0 a jsou exponenciálního řádu a f ⁽ⁿ⁾ (t) je po částech spojité pro t ≥ 0, pak

Laplaceova transformace integrálů

Ano

Tak

Násobení t

Pokud musíme

Tak

Dělení t

Pokud musíme

Tak

Periodické funkce

Nechť f je periodická funkce s periodou T> 0, tedy f (t + T) = f (t)

Chování F (s) má sklon k nekonečnu

Jestliže f je spojitá po částech a exponenciálním pořádku a

Tak

Inverzní transformace

Když aplikujeme Laplaceovu transformaci na funkci f (t), dostaneme F (s), která reprezentuje tuto transformaci. Stejným způsobem můžeme říci, že f (t) je inverzní Laplaceova transformace F (s) a je psána jako

Víme, že Laplaceovy transformace f (t) = 1 ag (t) = t jsou F (s) = 1 / sa G (s) = 1 / s ², proto máme

Některé běžné inverzní Laplaceovy transformace jsou následující

Kromě toho je inverzní Laplaceova transformace lineární, to znamená, že je to pravda

Cvičení

Nalézt

K vyřešení tohoto cvičení musíme porovnat funkci F (s) s jednou z předchozích tabulek. V tomto případě, pokud vezmeme + 1 = 5 a použijeme vlastnost linearity inverzní transformace, vynásobíme a vydělíme 4! Získávání

Pro druhou inverzní transformaci použijeme parciální zlomky k přepsání funkce F (s) a poté vlastnosti linearity, získáme

Jak je vidět z těchto příkladů, je běžné, že funkce F (s), která je vyhodnocena, se přesně neshoduje s žádnou z funkcí uvedených v tabulce. V těchto případech, jak je vidět, stačí přepsat funkci, dokud nedosáhne příslušného formuláře.

Aplikace Laplaceovy transformace

Diferenciální rovnice

Hlavní aplikací Laplaceových transformací je řešení diferenciálních rovnic.

Pomocí vlastnosti transformace derivátu je jasné, že

Y derivátů n-1 vyhodnocených při t = 0.

Tato vlastnost dělá transformaci velmi užitečnou pro řešení problémů počáteční hodnoty, kde jsou zapojeny diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

Následující příklady ukazují, jak použít Laplaceovu transformaci k řešení diferenciálních rovnic.

Příklad 1

Vzhledem k následujícímu problému s počáteční hodnotou

Pro nalezení řešení použijte Laplaceovu transformaci.

Laplaceovu transformaci aplikujeme na každý člen diferenciální rovnice

Vlastností transformace derivátu máme

Vývojem všech výrazů a vymazáním Y (y) máme

Pomocí částečných zlomků přepíšeme pravou stranu rovnice, kterou dostaneme

Nakonec je naším cílem najít funkci y (t), která vyhovuje diferenciální rovnici. Výsledkem je inverzní Laplaceova transformace

Příklad 2

Řešit

Stejně jako v předchozím případě aplikujeme transformaci na obě strany rovnice a samostatný termín po čase.

Tímto způsobem máme výsledek

Nahrazení danými počátečními hodnotami a řešení pro Y (y)

Pomocí jednoduchých zlomků můžeme rovnici přepsat následujícím způsobem

A použití inverzní Laplaceovy transformace nám dává výsledek

V těchto příkladech lze nesprávně usoudit, že tato metoda není o moc lepší než tradiční metody řešení diferenciálních rovnic.

Výhodou Laplaceovy transformace je, že nemusíte používat variace parametrů nebo se obávat různých případů metody neurčitého koeficientu.

Při řešení problémů počáteční hodnoty touto metodou navíc od počátku používáme počáteční podmínky, takže není nutné provádět jiné výpočty, abychom našli konkrétní řešení.

Soustavy diferenciálních rovnic

Laplaceova transformace může být také použita k nalezení řešení pro současné obyčejné diferenciální rovnice, jak ukazuje následující příklad.

Příklad

Odhodlání

Při počátečních podmínkách x (0) = 8 a y (0) = 3.

Pokud musíme

Tak

Výsledkem je řešení

A použití inverzní Laplaceovy transformace, kterou máme

Mechanika a elektrické obvody

Laplaceova transformace má ve fyzice velký význam, má především aplikace pro mechaniku a elektrické obvody.

Jednoduchý elektrický obvod se skládá z následujících prvků

Spínač, baterie nebo zdroj, induktor, rezistor a kondenzátor. Když je spínač sepnutý, je generován elektrický proud, který je označen i (t). Náboj na kondenzátoru je označen q (t).

Podle Kirchhoffova druhého zákona musí být napětí produkované zdrojem E v uzavřeném obvodu rovné součtu každého z poklesů napětí.

Elektrický proud i (t) souvisí s nábojem q (t) na kondenzátoru i = dq / dt. Na druhé straně je úbytek napětí v každém z prvků definován následovně:

Úbytek napětí na rezistoru je iR = R (dq / dt)

Pokles napětí přes induktor je L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

Úbytek napětí na kondenzátoru je q / C

S těmito daty a použitím Kirchhoffova druhého zákona na jednoduchý uzavřený obvod se získá diferenciální rovnice druhého řádu, která popisuje systém a umožňuje nám stanovit hodnotu q (t).

Příklad

Induktor, kondenzátor a rezistor jsou připojeny k baterii E, jak je znázorněno na obrázku. Induktor je 2 henry, kondenzátor je 0,02 farad a odpor je 16 ohmů. V čase t = 0 je obvod uzavřen. Najděte náboj a proud kdykoli t> 0, pokud E = 300 voltů.

Máme, že diferenciální rovnice, která popisuje tento obvod, je následující

Kde počáteční podmínky jsou q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Použitím Laplaceovy transformace to získáme

A řešení pro Q (t)

Pak jsme použili inverzní Laplaceovu transformaci, kterou máme

Reference

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformace pro inženýry elektroniky. Limusa.
2. Ruiz, LM a Hernandez, MP (2006). Diferenciální rovnice a Laplaceova transformace s aplikacemi. Redakční UPV.
3. Simmons, GF (1993). Diferenciální rovnice s aplikacemi a historickými notami. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace se transformuje. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Diferenciální rovnice s hraničními hodnotami. Cengage Learning Editores, SA