KŘÍŽOVÝ PRODUKT: VLASTNOSTI, APLIKACE A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Produkt kříže nebo vektorový součin je způsob vynásobení dva nebo více vektorů. Existují tři způsoby, jak násobit vektory, ale žádný z nich není násobením v obvyklém slova smyslu. Jedna z těchto forem je známa jako vektorový produkt, jehož výsledkem je třetí vektor.

Křížový produkt, který se také nazývá křížový produkt nebo vnější produkt, má různé algebraické a geometrické vlastnosti. Tyto vlastnosti jsou velmi užitečné, zejména pokud jde o studium fyziky.

Definice

Formální definice vektorového produktu je následující: pokud A = (a1, a2, a3) a B = (bl, b2, b3) jsou vektory, pak vektorový produkt A a B, který označíme jako AxB, je:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Kvůli notaci AxB se čte jako „A kříž B“.

Příkladem použití vnějšího produktu je to, že pokud A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4) jsou vektory, pak pomocí definice vektorového produktu máme:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Jiný způsob vyjádření vektorového produktu je dán zápisem determinantů.

Výpočet determinantu druhého řádu je dán:

Proto lze vzorec pro křížový produkt uvedený v definici přepsat takto:

To je obvykle zjednodušeno do determinantu třetího řádu takto:

Tam, kde i, j, k představují vektory, které tvoří základ R ³.

Pomocí tohoto způsobu vyjádření křížového produktu můžeme přepsat předchozí příklad takto:

Vlastnosti

Některé vlastnosti, které má vektorový produkt, jsou následující:

Vlastnost 1

Jestliže A je nějaký vektor v R ³, my máme:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Tyto vlastnosti lze snadno ověřit pouze pomocí definice. Pokud A = (a1, a2, a3) máme:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Pokud se i, j, k představují jednotky základnu R ³, je můžeme napsat takto:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Máme tedy následující vlastnosti:

Jako mnemotechnické pravidlo se následující kruh často používá k zapamatování těchto vlastností:

Tam musíme poznamenat, že jakýkoli vektor sám o sobě dává vektor 0, a zbytek produktů lze získat pomocí následujícího pravidla:

Křížový součin dvou po sobě následujících vektorů ve směru hodinových ručiček dává další vektor; a je-li uvažován směr proti směru hodinových ručiček, výsledkem je následující vektor se záporným znaménkem.

Díky těmto vlastnostem můžeme vidět, že vektorový produkt není komutativní; například si všimněte, že ixj ≠ jx i. Následující vlastnost nám říká, jak obecně souvisí AxB a BxA.

Vlastnost 2

Jestliže A a B jsou vektory R ³, máme:

AxB = - (BxA).

Demonstrace

Pokud A = (a1, a2, a3) a B = (bl, b2, b3), podle definice externího produktu máme:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Můžeme také vidět, že tento produkt není asociativní s následujícím příkladem:

ix (ixj) = ixk = - j, ale (ixi) xj = 0xj = 0

Z toho můžeme vidět, že:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Vlastnost 3

Jestliže A, B, C jsou vektory R ³ a r je reálné číslo, platí následující:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Díky těmto vlastnostem můžeme vypočítat vektorový produkt pomocí zákonů algebry za předpokladu, že je objednávka respektována. Například:

Je-li A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4), můžeme je přepsat, pokud jde o kanonické základě R ³.

A = i + 2j + 3k a B = 3i - 2j + 4k. Poté použijte předchozí vlastnosti:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Vlastnost 4 (produkt s třemi tečkami)

Jak jsme již zmínili na začátku, existují další způsoby, jak multiplikovat vektory kromě vektorového produktu. Jedním z těchto způsobů je skalární produkt nebo vnitřní produkt, který je označen jako A ∙ B a jehož definice je:

Pokud A = (a1, a2, a3) a B = (bl, b2, b3), pak A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Vlastnost, která se týká obou produktů, je známa jako trojitý skalární produkt.

Jestliže A, B, a C jsou vektory R ³, potom A ∙ BXC = AxB ∙ C

Například se podívejme, že vzhledem k A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4) je tato vlastnost uspokojena.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Na druhou stranu:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Dalším trojitým produktem je Ax (BxC), který je známý jako trojitý vektorový produkt.

Vlastnost 5 (trojitý vektorový produkt)

Jestliže A, B a C jsou vektory R ³, pak:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Například se podívejme, že vzhledem k A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4) je tato vlastnost uspokojena.

Z předchozího příkladu víme, že BxC = (- 18, - 22, 17). Vezměme si Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Na druhé straně musíme:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Musíme tedy:

(A - C) B - (A - B) C = 4 (- 3,4,4) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Vlastnost 6

Je to jedna z geometrických vlastností vektorů. Jestliže A a B jsou dva vektory v R ³ a? Je úhel vytvořený mezi nimi, pak:

--AxB-- = --A ---- B - hřích (ϴ), kde - ∙ - označuje modul nebo velikost vektoru.

Geometrická interpretace této vlastnosti je následující:

Nechť A = PR a B = PQ. Úhel tvořený vektory A a B je úhel P trojúhelníku RQP, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Proto oblast rovnoběžníku, který má PR a PQ jako sousední strany, je - A ---- B - hřích (ϴ), protože můžeme brát - A--, protože jeho základnu a její výšku udává - B - hřích (ϴ).

Můžeme tedy dojít k závěru, že - AxB - je oblast uvedeného rovnoběžníku.

Příklad

Vzhledem k následujícím vrcholům čtyřúhelníku P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) a S (5,7, -3) ukazují, že uvedený čtyřúhelník je rovnoběžník a najděte jeho oblast.

Za tímto účelem nejprve určíme vektory, které určují směr stran čtyřúhelníku. Tohle je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Jak vidíme, A a C mají stejný vektor režiséra, takže máme oba paralelní; totéž se děje s B a D. Proto dochází k závěru, že PQRS je rovnoběžník.

Abychom získali plochu tohoto rovnoběžníku, vypočítáme BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Proto bude druhá mocnina:

-BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Lze usoudit, že plocha rovnoběžníku bude druhou odmocninou 89.

Vlastnost 7

Dva vektory A a B jsou rovnoběžné v R ^3, jestliže a pouze v případě, AxB = 0

Demonstrace

Je jasné, že pokud A nebo B jsou nulový vektor, je splněno, že AxB = 0. Protože nulový vektor je rovnoběžný s jakýmkoli jiným vektorem, je vlastnost platná.

Pokud žádný z těchto dvou vektorů není nulovým vektorem, máme jejich velikost, která se liší od nuly; to znamená, že - A-- ≠ 0 a - B-- ≠ 0, takže budeme mít --AxB-- = 0 tehdy a jen tehdy, pokud hřích (ϴ) = 0, a to se stane, pokud a pouze pokud ϴ = π nebo ϴ = 0.

Proto můžeme uzavřít AxB = 0 pouze tehdy, když ϴ = π nebo ϴ = 0, k čemuž dochází pouze tehdy, jsou-li oba vektory vzájemně rovnoběžné.

Vlastnost 8

Jestliže A a B jsou dva vektory v R ³, pak AxB je kolmá k A a B.

Demonstrace

Pro tento důkaz si pamatujte, že dva vektory jsou kolmé, pokud A ∙ B je rovno nule. Dále víme, že:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA se rovná 0. Proto máme:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Tím můžeme dojít k závěru, že A a AxB jsou vzájemně kolmé. Analogicky musíme:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Protože BxB = 0, máme:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Proto jsou AxB a B vzájemně kolmé a tím je vlastnost demonstrována. To je pro nás velmi užitečné, protože nám umožňují určit rovnici letadla.

Příklad 1

Získá rovnici roviny, která prochází body P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) a R (2, 1, 3).

Nechť A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) a B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Pak A = - i + 3j + k a B = i - 2j + k. K nalezení roviny tvořené těmito třemi body stačí najít vektor, který je kolmý k rovině, kterou je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

S tímto vektorem a vezmeme-li bod P (1, 3, 2), můžeme určit rovnici roviny takto:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Máme tedy, že rovnice roviny je 5x + 2y - z - 9 = 0.

Příklad 2

Najděte rovnici roviny, která obsahuje bod P (4, 0, - 2) a která je kolmá na každou z rovin x - y + z = 0 a 2x + y - 4z - 5 = 0.

Když víme, že normální vektor k rovině ax + od + cz + d = 0 je (a, b, c), máme, že (1, -1,1) je normální vektor x - y + z = 0 y (2,1, - 4) je normální vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Normální vektor k hledané rovině musí proto být kolmý na (1, -1,1) a (2, 1, - 4). Tento vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, -4) = 3i + 6j + 3k.

Pak máme, že hledaná rovina je rovina, která obsahuje bod P (4,0, - 2) a má vektor (3,6,3) jako normální vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikace

Výpočet objemu rovnoběžníku

Aplikace, která má trojitý skalární produkt, musí být schopna vypočítat objem rovnoběžnostěn, jehož okraje jsou dány vektory A, B a C, jak je znázorněno na obrázku:

Můžeme odvodit tuto aplikaci následujícím způsobem: jak jsme již řekli dříve, vektor AxB je vektor, který je kolmý k rovině A a B. Rovněž máme vektor - (AxB) jiný vektor kolmý k uvedené rovině.

Vybereme normální vektor, který vytvoří nejmenší úhel s vektorem C; Aniž bychom ztratili obecnost, nechť AxB je vektor, jehož úhel s C je nejmenší.

Máme, že jak AxB, tak C mají stejný výchozí bod. Dále víme, že plocha rovnoběžníku, která tvoří základnu rovnoběžníku, je - AxB--. Proto, pokud je výška rovnoběžníku udávána h, máme jeho objem:

V = -AxB - h.

Na druhou stranu se podívejme na tečkový produkt mezi AxB a C, který lze popsat takto:

Avšak trigonometrickými vlastnostmi máme h = - C - cos (ϴ), takže máme:

Takto máme:

Obecně platí, že objem rovnoběžníku je dán absolutní hodnotou trojitého skalárního produktu AxB ∙ C.

Řešená cvičení

Cvičení 1

Vzhledem k bodům P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) a S = (2, 6, 9) tvoří tyto body rovnoběžník, jehož hrany jsou to PQ, PR a PS. Určete objem uvedeného rovnoběžníku.

Řešení

Pokud vezmeme:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Pomocí vlastnosti trojitého skalárního produktu máme:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Proto máme objem uvedeného rovnoběžníkového potrubí 52.

Cvičení 2

Určete objem rovnoběžníku, jehož okraje jsou dány A = PQ, B = PR a C = PS, kde body P, Q, R a S jsou (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) a (2, 2, 5).

Řešení

Nejprve máme, že A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vypočítáme AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Potom vypočítáme AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Došli jsme tedy k závěru, že objem uvedeného rovnoběžníku je 1 kubická jednotka.

Reference

1. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometrií. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.
3. Saenz, J. (nd). Vektor počet 1ed. Přepona.
4. Spiegel, MR (2011). Vektorová analýza 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, a Wright, W. (2011). Výpočet několika proměnných 4ed. Mc Graw Hill.