POZORUHODNÉ PRODUKTY: VYSVĚTLENÍ A VYŘEŠENÍ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2024

Tyto pozoruhodné produkty jsou algebraické operace, ve kterých jsou vyjádřeny násobení polynomů, které nepotřebují být vyřešen tradičně, ale s pomocí určitých pravidel je možné nalézt výsledky stejné.

Polynomy jsou násobeny ano, proto je možné, že mají velké množství termínů a proměnných. Aby se proces zkrátil, používají se významná produktová pravidla, která umožňují množení bez nutnosti přecházet z časového hlediska.

Pozoruhodné produkty a příklady

Každý pozoruhodný produkt je vzorec, který je výsledkem faktorizace, tvořené polynomy několika termínů, jako jsou binomiální nebo trinomiální, nazývané faktory.

Faktory jsou základem síly a mají exponentu. Když se faktory násobí, musí se přidat exponenty.

Existuje několik pozoruhodných vzorců produktů, některé se používají více než jiné v závislosti na polynomech a jsou následující:

Binomický druh na druhou

Jedná se o množení binomického bodu vyjádřeného jako mocnina, kde se výrazy sčítají nebo odečítají:

na. Čtvercový součet binomický: rovná se čtverci prvního semestru plus dvojnásobek součtu výrazů plus čtverec druhého semestru. Vyjadřuje se takto:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

Na následujícím obrázku můžete vidět, jak se produkt vyvíjí podle výše uvedeného pravidla. Výsledek se nazývá trinomial dokonalého čtverce.

Příklad 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Příklad 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ².

b. Binomie druhé odmocniny: platí stejné pravidlo jako binomie součtu, pouze v tomto případě je druhý člen záporný. Jeho vzorec je následující:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ².

Příklad 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36.

Produkt sdružených binomií

Dva dalekohledy jsou spojeny, když druhé členy každého mají odlišné příznaky, to znamená, že první je pozitivní a druhý negativní nebo naopak. To je vyřešeno tak, že se každá monomiální částka odečte a odečte se. Jeho vzorec je následující:

(a + b) _* (a - b)

Na následujícím obrázku je vyvinut produkt dvou konjugovaných binomiků, kde je pozorováno, že výsledkem je rozdíl čtverců.

Příklad 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ².

Produkt dvou binomií se společným termínem

Je to jeden z nejsložitějších a zřídka používaných pozoruhodných produktů, protože je to násobení dvou binomiků, které mají společný pojem. Pravidlo uvádí následující:

• Čtverec společného termínu.
• Plus součet podmínek, které nejsou běžné, a poté je vynásobte běžným termínem.
• Plus součet násobení termínů, které nejsou běžné.

Je reprezentován vzorcem: (x + a) _* (x + b) a je vyvíjen tak, jak je znázorněno na obrázku. Výsledkem je neúplný čtvercový trojúhelník.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Existuje možnost, že druhý člen (odlišný termín) je záporný a jeho vzorec je následující: (x + a) _* (x - b).

Příklad 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

Může se také stát, že oba odlišné termíny jsou negativní. Jeho vzorec bude: (x - a) _* (x - b).

Příklad 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Čtvercový polynom

V tomto případě existují více než dva termíny a pro jejich vývoj je každý z nich na druhou a sečten spolu s dvojnásobkem násobení jednoho termínu druhým; jeho vzorec je: (a + b + c) ² a výsledkem operace je kvadratický trojhran.

Příklad 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3 x + 2y + 4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16Z ² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomické krychle

Je to pozoruhodně složitý produkt. Chcete-li jej rozvíjet, je binomie násobena svým čtvercem takto:

na. Za binomické krychle z částky:

• Krychle prvního funkčního období plus trojnásobek čtverce prvního funkčního období krát druhého.
• Plus trojnásobek prvního funkčního období, druhýkrát na druhou.
• Plus krychle druhého funkčního období.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ²)

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3 a ² b + 3ab ² + b ³.

Příklad 1

(a + 3) ³ = ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = ³ + 9 a ² + 27a + 27.

b. Pro binomické krychle odčítání:

• Krychle prvního funkčního období, mínus trojnásobek čtverce prvního funkčního období, krát druhého.
• Plus trojnásobek prvního funkčního období, druhýkrát na druhou.
• Mínus krychle druhého funkčního období.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ²)

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³.

Příklad 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125.

Kostka trojice

Vyvíjí se vynásobením jeho čtvercem. Jedná se o velmi rozsáhlý pozoruhodný produkt, protože máte 3 krychlové termíny plus třikrát každý termín na druhou, vynásobený každou z těchto podmínek plus šestkrát součet tří termínů. Lepší pohled:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3 a ² b + 3ab ² + 3 a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3BC ² + 6abc.

Příklad 1

Řešená cvičení významných produktů

Cvičení 1

Rozbalte následující binomické krychle: (4x - 6) ³.

Řešení

Vzpomínáme si, že binomický krychlový je roven prvnímu krychlovému členu, mínus trojnásobek čtverce prvního funkčního období krát druhého; plus trojnásobek prvního funkčního období, krát druhý na druhou, mínus krychle druhého funkčního období.

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ²) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36.

Cvičení 2

Vytvořte následující binomické: (x + 3) (x + 8).

Řešení

Tam je binomial kde tam je obyčejný termín, který je x a druhý termín je pozitivní. Chcete-li jej rozvinout, musíte pouze odmocnit běžný termín plus součet podmínek, které nejsou běžné (3 a 8), a poté je vynásobit společným termínem, plus součet násobení podmínek, které nejsou běžné.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11 x + 24.

Reference

1. Angel, AR (2007). Elementární algebra. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
3. Das, S. (nd). Maths Plus 8. Spojené království: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementární a středně pokročilá algebra: kombinovaný přístup. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, CD (2010). Pearsonovo vzdělávání.