Tyto kruhové permutace jsou různé druhy seskupení všech prvků množiny, kdy mají být uspořádány v kruhu. V tomto typu permutace jsou důležité pořadí a prvky se neopakují.
Předpokládejme například, že chcete znát počet různých polí číslic jedna až čtyři, přičemž každé číslo umístíte na jeden z vrcholů kosočtverce. Celkem by to mělo být 6 opatření:
Nemělo by se zaměňovat, že číslo jedna je v horní poloze kosočtverce ve všech případech jako pevná poloha. Kruhové permutace se nemění rotací pole. Následuje jedna nebo stejná permutace:
Ukázka a vzorce
V příkladu různých čtyřmístných kruhových polí umístěných ve vrcholech kosočtverce lze počet polí (6) nalézt takto:
1- Jakákoli ze čtyř číslic se považuje za výchozí bod v kterémkoli z vrcholů a postupuje do dalšího vrcholu. (nezáleží na tom, zda je otočen ve směru nebo proti směru hodinových ručiček)
2 - Zbývají 3 možnosti pro výběr druhého vrcholu, pak jsou zde 2 možnosti pro výběr třetího vrcholu a samozřejmě existuje pouze jedna možnost výběru pro čtvrtý vrchol.
3- Počet kruhových permutací, označených (4 - 1) P (4 - 1), se tedy získá součinem možností výběru v každé poloze:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 různých čtyřmístných kruhových polí.
Obecně je počet kruhových permutací, kterých lze dosáhnout u všech prvků n množiny, následující:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
Všimněte si, že (n - 1)! Je známa jako n faktoriál a zkracuje součet všech čísel od čísla (n - 1) na číslo jedna, včetně.
Příklady
Příklad 1
Kolik různých způsobů musí 6 lidí sedět u kruhového stolu?
Chcete najít počet různých způsobů, jak může kolem 6 lidí sedět kolem kulatého stolu.
Počet způsobů, jak sedět = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Počet způsobů, jak sedět = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 různých způsobů
Příklad 2
Kolik různých způsobů se musí 5 lidí lokalizovat na vrcholech pětiúhelníku?
Hledá se počet způsobů, jakými může být umístěno 5 lidí v každém z vrcholů pětiúhelníku.
Počet způsobů lokalizace = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
Počet způsobů hledání = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 různých způsobů
Řešená cvičení
- Cvičení 1
Klenotník získává 12 různých drahých kamenů, aby je umístil do hodin hodin, které připravuje jménem královského domu evropské země.
a) Kolik různých způsobů musí uspořádat kameny na hodinách?
b) Kolik různých tvarů má, pokud je kámen, který jde do 12 hodin, jedinečný?
c) Kolik různých tvarů, pokud je kámen v 12 hodin jedinečný a kameny v ostatních třech hlavních bodech, 3, 6 a 9 hodin; Existují tři konkrétní kameny, které lze vyměnit, a zbývající hodiny jsou přiděleny od zbytku kamenů?
Řešení
a) Je požadován počet způsobů, jak uspořádat všechny kameny po obvodu hodin; to znamená počet kruhových uspořádání zahrnujících všechny dostupné kameny.
Počet uspořádání na hodiny = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Počet oprav na hodinách = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání na hodinách = 39976800 různých tvarů
b) přemýšlí o tom, kolik různých způsobů uspořádání existuje, protože věděl, že kámen na rukojeti ve 12 hodin je jedinečný a pevný; to znamená počet kruhových uspořádání zahrnujících zbývajících 11 kamenů.
Počet uspořádání na hodiny = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Počet oprav na hodinách = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání na hodinách = 3 628 800 různých tvarů
c) Nakonec se hledá počet způsobů, jak objednat všechny kameny, s výjimkou 12 hodinového kamene, který je fixován, 3, 6 a 9 kamenů, které mají 3 kameny, které mají být navzájem přiřazeny; to znamená, 3! možnosti uspořádání a počet kruhových uspořádání zahrnujících zbývajících 8 kamenů.
Počet oprav v hodinách = 3! * = 3! * (8–1)!
Počet uspořádání v hodinách = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Počet uspořádání na hodinách = 241920 různých tvarů
- Cvičení 2
Řídící výbor společnosti se skládá z 8 členů a zasedají u oválného stolu.
a) Kolik různých forem uspořádání kolem stolu má výbor?
b) Předpokládejme, že předseda sedí v čele stolu v jakémkoli uspořádání výboru, kolik různých forem uspořádání má zbytek výboru?
c) Předpokládejme, že místopředseda a tajemník zasedají na kterékoli straně prezidenta v jakémkoli uspořádání výboru. Kolik různých forem uspořádání má zbytek výboru?
Řešení
a) Chceme najít řadu různých způsobů, jak uspořádat 12 členů výboru kolem oválného stolu.
Počet uspořádání výborů = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Počet uspořádání výborů = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání výborů = 39976800 různých forem
b) Protože se předseda výboru nachází ve stálé poloze, hledá se počet způsobů, jak objednat zbývajících 11 členů výboru kolem oválného stolu.
Počet uspořádání výborů = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Počet uspořádání výborů = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet uspořádání výborů = 3 628 800 různých forem
c) Prezident je umístěn ve stálém postavení a po stranách jsou viceprezident a tajemník se dvěma možnostmi uspořádání: viceprezident vpravo a sekretář vlevo nebo viceprezident vlevo a sekretář vpravo. Pak budete chtít najít několik různých způsobů, jak uspořádat zbývajících 9 členů výboru kolem oválného stolu a znásobit je dvěma formami uspořádání, které má viceprezident a tajemník.
Počet uspořádání výborů = 2 * = 2 *
Počet uspořádání výborů = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Počet uspořádání výborů = 80640 různých forem
Reference
- Boada, A. (2017). Využití permutace s opakováním jako výuky experimentů. Vivat Academia Magazine. Obnoveno z researchgate.net.
- Canavos, G. (1988). Pravděpodobnost a statistika. Aplikace a metody. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
- Glass, G; Stanley, J. (1996). Statistické metody aplikované na společenské vědy. Prentice Hall Hispanoamericana SA
- Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistika. Čtvrté ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Pravděpodobnost a statistika pro inženýry a vědce. Osmá ed. Pearson Education International Prentice Hall.
- Webster, A. (2000). Statistiky aplikované na podnikání a ekonomiku. Třetí ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
- Wikipedia. (2019). Permutace. Obnoveno z en.wikipedia.org.