PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ: VZORCE, DŮKAZ, CVIČENÍ, PŘÍKLADY - DUDAS - 2025

Permutace bez opakování n prvky jsou různé skupiny různých prvků, které mohou být získány z neopakuje žádný prvek, pouze se mění pořadí umístění prvků.

Ke zjištění počtu permutací bez opakování se používá následující vzorec:

Pn = n!

Rozšíření by bylo Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Takže v předchozím praktickém příkladu by bylo použito následovně:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 různých čtyřmístných čísel.

Jedná se o celkem 24 polí: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Jak je vidět, v žádném případě nedochází k opakování, protože je to 24 různých čísel.

Ukázka a vzorce

24 Uspořádání 4 různých čísel

Podrobněji budeme analyzovat příklad 24 různých čtyřmístných uspořádání, která mohou být vytvořena číslicemi čísla 2468. Počet uspořádání (24) může být znám takto:

Máte 4 možnosti pro výběr první číslice, která ponechá 3 možnosti pro výběr druhé. Již byly nastaveny dvě číslice a zbývají 2 možnosti pro výběr třetí číslice. Poslední číslice má pouze jednu možnost výběru.

Počet permutací, označených P4, je tedy získán součinem možností výběru v každé poloze:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 různých čtyřmístných čísel

Obecně je počet různých permutací nebo uspořádání, které lze provést se všemi n prvky dané množiny, následující:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Výraz n! je znám jako n faktoriál a znamená součin všech přirozených čísel, která leží mezi číslem n a číslem jedna, včetně obou.

12 Uspořádání 2 různých čísel

Předpokládejme, že chcete znát počet permutací nebo dvouciferných čísel, která mohou být vytvořena číslicemi čísla 2468.

Celkem by to bylo 12 opatření: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Máte 4 možnosti pro výběr první číslice, která ponechá 3 číslice pro výběr druhé. Počet permutací 4 číslic pořízených dvě po dvou, označených 4P2, se tedy získá součinem možností výběru v každé poloze:

4P2 = 4 * 3 = 12 různých dvouciferných čísel

Obecně je počet různých permutací nebo uspořádání, které mohou být provedeny s r elementy n celkem v dané sadě:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Výše uvedený výraz je před hraním n zkrácen. Chcete-li dokončit n! z toho bychom měli napsat:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Faktory, které přidáme, zase představují faktoriál:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Tím pádem, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Odtud

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Příklady

Příklad 1

Kolik různých 5-písmenových kombinací písmen lze vytvořit pomocí písmen slova KEY?

Chceme najít počet různých kombinací písmen 5 písmen, které lze vytvořit pomocí 5 písmen slova KEY; to znamená počet 5 písmenných polí zahrnujících všechna písmena dostupná ve slově KEY.

Počet 5 písmenných slov = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 různých 5-písmenových kombinací.

Mohly by to být: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… celkem až 120 různých kombinací písmen.

Příklad 2

Máte 15 očíslovaných koulí a chcete vědět Kolik různých skupin 3 koulí může být vyrobeno z 15 očíslovaných koulí?

Chcete najít počet skupin 3 míčků, které lze vyrobit s 15 očíslovanými míčky.

Počet skupin 3 míčků = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Počet skupin 3 míčků = 15 * 14 * 13 = 2730 skupin 3 míčků

Řešená cvičení

Cvičení 1

Obchod s ovocem má výstavní stánek sestávající z řady oddílů umístěných ve vstupní hale do areálu. Za jeden den kupuje zelinář na prodej: pomeranče, banány, ananas, hrušky a jablka.

a) Kolik různých způsobů objednání výstavního stánku?

b) Kolik různých způsobů musí objednat porost, pokud kromě uvedených plodů (5) obdržel v ten den: manga, broskve, jahody a hrozny (4)?

a) Chceme najít řadu různých způsobů, jak objednat všechny plody v řádku displeje; to znamená počet aranžování 5 druhů ovoce, které zahrnují veškerá ovoce dostupná k prodeji v daný den.

Počet uspořádání stojanu = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet uspořádání stojanu = 120 způsobů, jak prezentovat stojan

b) Chceme najít počet různých způsobů, jak objednat všechny plody v řádku displeje, pokud byly přidány 4 další položky; to znamená počet aranžování 9 druhů ovoce, které zahrnují veškerá ovoce k dispozici k prodeji v daný den.

Počet uspořádání stojanu = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet uspořádání stojanu = 362 880 způsobů, jak prezentovat stojan

Cvičení 2

Malá prodejna potravin má pozemek s dostatkem prostoru pro parkování 6 vozidel.

a) Kolik různých způsobů objednání vozidel na pozemku lze vybrat?

b) Předpokládejme, že se získá souvislý pozemek, jehož rozměry umožňují zaparkovat 10 vozidel. Kolik různých forem uspořádání vozidel lze nyní vybrat?

a) Chceme najít počet různých způsobů objednání 6 vozidel, která mohou být umístěna na pozemku.

Počet uspořádání 6 vozidel = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet uspořádání 6 vozidel = 720 různých způsobů objednání 6 vozidel na pozemku.

b) Chceme najít počet různých způsobů objednání 10 vozidel, která mohou být umístěna na pozemku po rozšíření pozemku.

Počet uspořádání 10 vozidel = P10 = 10!

Počet uspořádání vozidla = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet uspořádání 10 vozidel = 3 628 800 různých způsobů objednání 10 vozidel na pozemku.

Cvičení 3

Květinářství má květiny 6 různých barev, aby vytvořily květinové vlajky národů, které mají pouze 3 barvy. Pokud je známo, že v vlajkách je důležité pořadí barev, a) Kolik různých vlajek 3 barev lze vyrobit pomocí 6 dostupných barev?

b) Prodávající kupuje květiny ve 2 dalších barvách k 6, které už měl, nyní, kolik různých vlajek 3 barev lze vyrobit?

c) Protože máte 8 barev, rozhodnete se rozšířit svůj rozsah vlajek. Kolik různých čtyřbarevných vlajek můžete vytvořit?

d) Kolik ze 2 barev?

a) Chceme najít počet různých příznaků 3 barev, které lze vytvořit výběrem ze 6 dostupných barev.

Počet tříbarevných vlajek = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Počet 3 barevných vlajek = 6 * 5 * 4 = 120 vlajek

b) Chcete najít počet různých příznaků 3 barev, které lze vytvořit výběrem z 8 dostupných barev.

Počet tříbarevných vlajek = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Počet tříbarevných vlajek = 8 * 7 * 6 = 336 vlajek

c) Musí být vypočten počet různých čtyřbarevných příznaků, které lze vyrobit výběrem z 8 dostupných barev.

Počet čtyřbarevných příznaků = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Počet čtyřbarevných příznaků = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 příznaků

d) Chcete určit počet různých dvoubarevných vlajek, které lze provést výběrem z 8 dostupných barev.

Počet dvoubarevných vlajek = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Počet dvoubarevných příznaků = 8 * 7 = 56 příznaků

Reference

1. Boada, A. (2017). Využití permutace s opakováním jako výuky experimentů. Vivat Academia Magazine. Obnoveno z researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Pravděpodobnost a statistika. Aplikace a metody. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G; Stanley, J. (1996). Statistické metody aplikované na společenské vědy. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistika. Čtvrté ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Pravděpodobnost a statistika pro inženýry a vědce. Osmá ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistiky aplikované na podnikání a ekonomiku. Třetí ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutace. Obnoveno z en.wikipedia.org.