PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST: VZOREC A ROVNICE, VLASTNOSTI, PŘÍKLADY - DUDAS

Podmíněná pravděpodobnost je možnost výskytu určité události, vzhledem k tomu, že další vyskytuje jako podmínku. Tyto další informace mohou (nebo nemusí) změnit dojem, že se něco stane.

Můžeme se například zeptat sami sebe: „Jaká je pravděpodobnost, že dnes prší, vzhledem k tomu, že nepršelo dva dny?“ Událost, pro kterou chceme znát pravděpodobnost, spočívá v tom, že dnes prší, a další informace, které by tuto odpověď podmiňovaly, jsou: „nepršelo dva dny“.

Obrázek 1. Pravděpodobnost, že dnes prší, protože pršelo včera, je také příkladem podmíněné pravděpodobnosti. Zdroj: Pixabay.

Nechť je pravděpodobnostní prostor složen z Ω (vzorkovací prostor), ℬ (náhodné události) a P (pravděpodobnost každé události) plus události A a B, které patří k ℬ.

Podmíněná pravděpodobnost, že A nastane, vzhledem k tomu, že B nastala, která je označena jako P (A│B), je definována takto:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A a B) / P (B)

Kde: P (A) je pravděpodobnost výskytu A, P (B) je pravděpodobnost události B a je odlišná od 0 a P (A∩B) je pravděpodobnost průniku mezi A a B, tj., pravděpodobnost výskytu obou událostí (pravděpodobnost kloubu).

Toto je výraz Bayesovy věty aplikované na dvě události, navržené v roce 1763 anglickým teologem a matematikem Thomasem Bayesem.

Vlastnosti

-Všechna podmíněná pravděpodobnost je mezi 0 a 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- Pravděpodobnost, že dojde k události A, je zřejmá 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

- Pokud jsou dvě události exkluzivní, tj. Události, které se nemohou stát současně, je podmíněná pravděpodobnost, že se jedna z nich stane, 0, protože průnik je nulový:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

- Pokud je B podmnožinou A, pak je podmíněná pravděpodobnost také 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Důležité

P (A│B) se obecně nerovná P (B│A), proto musíme při hledání podmíněné pravděpodobnosti nevyměňovat události.

Obecné pravidlo množení

Mnohokrát chcete najít společnou pravděpodobnost P (A∩B), spíše než podmíněnou pravděpodobnost. Pak skrze následující větu máme:

P (A∩B) = P (A a B) = P (A│B). P (B)

Věta může být rozšířena o tři události A, B a C:

P (A∩B∩C) = P (A a B a C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

A také pro různé události, jako je A ₁, A ₂, A ₃ a více, může být vyjádřen následujícím způsobem:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │ A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││ A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Pokud se jedná o události, které se vyskytují postupně a v různých fázích, je vhodné uspořádat data do diagramu nebo tabulky. To usnadňuje vizualizaci možností dosažení požadované pravděpodobnosti.

Příkladem je stromový diagram a kontingenční tabulka. Z jednoho z nich můžete postavit druhého.

Příklady podmíněné pravděpodobnosti

Pojďme se podívat na některé situace, ve kterých je pravděpodobnost jedné události změněna výskytem jiné:

- Příklad 1

V cukrárně se prodávají dva druhy dortů: jahoda a čokoláda. Registrací preferencí 50 klientů obou pohlaví byly stanoveny následující hodnoty:

-27 žen, z toho 11 preferuje jahodový dort a 16 čokolád.

-23 mužů: 15 vybrat čokoládu a 8 jahod.

Pravděpodobnost, že si zákazník vybere čokoládový dort, může být určena použitím Laplaceova pravidla, podle kterého je pravděpodobnost jakékoli události:

P = počet příznivých událostí / celkový počet událostí

V tomto případě, z 50 zákazníků, celkem 31 preferuje čokoládu, takže pravděpodobnost by byla P = 31/50 = 0,62. To znamená, že 62% zákazníků upřednostňuje čokoládový dort.

Ale bylo by to jiné, kdyby klientkou byla žena? Toto je případ podmíněné pravděpodobnosti.

Pohotovostní tabulka

Pomocí kontingenční tabulky, jako je tato, jsou součty snadno zobrazeny:

Pak jsou pozorovány příznivé případy a aplikováno Laplaceovo pravidlo, ale nejprve definujeme události:

-B je událost „zákaznice“.

-A je událost „upřednostňujte čokoládový dort“ jako žena.

Jdeme do sloupce označeného „ženy“ a tam vidíme, že je celkem 27.

Pak je hledán příznivý případ v řádku „čokoláda“. Existuje 16 z těchto událostí, a proto je pravděpodobnost, že se jedná, přímo:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% zákaznicek upřednostňuje čokoládový dort.

Tato hodnota odpovídá, když ji porovnáme s původně danou definicí podmíněné pravděpodobnosti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Zajistíme použití Laplaceova pravidla a hodnot tabulky:

P (B) = 27/50

P (A a B) = 16/50

Kde P (A a B) je pravděpodobnost, že zákazník upřednostňuje čokoládu a je žena. Nyní jsou hodnoty nahrazeny:

P (A - B) = P (A a B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

A je prokázáno, že výsledek je stejný.

- Příklad 2

V tomto příkladu platí pravidlo multiplikace. Předpokládejme, že v obchodě jsou kalhoty ve třech velikostech: malé, střední a velké.

V hodně s celkem 24 kalhotami, z nichž je 8 každé velikosti a všechny jsou smíšené, jaká by byla pravděpodobnost vytržení dvou z nich a že byly oba malé?

Je zřejmé, že pravděpodobnost odstranění malých kalhot při prvním pokusu je 8/24 = 1/3. Nyní je druhá extrakce podmíněna první událostí, protože při odstraňování párů kalhot již jich není 24, ale 23. A pokud jsou malé kalhotky odstraněny, je jich 7 místo 8.

Událost A táhne jedno malé kalhoty a při prvním pokusu vytáhla další. A událost B je první s malými kalhotami poprvé. Tím pádem:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Nakonec pomocí pravidla multiplikace:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Cvičení vyřešeno

Ve studii přesnosti na komerčních leteckých letech jsou k dispozici následující údaje:

-P (B) = 0,83, je pravděpodobnost, že letadlo vzlétne včas.

-P (A) = 0,81, je pravděpodobnost přistání včas.

-P (B∩A) = 0,78 je pravděpodobnost, že let dorazí v době vzletu na čas.

Je požadováno vypočítat:

a) Jaká je pravděpodobnost, že letadlo přistane včas, protože vzlétlo včas?

b) Je výše uvedená pravděpodobnost stejná jako pravděpodobnost, kterou jste ponechali včas, pokud se vám podařilo včas přistát?

c) A konečně: jaká je pravděpodobnost, že dorazí včas, protože nezanechala včas?

Obrázek 2. Přesnost na komerčních letech je důležitá, protože zpoždění způsobuje ztráty miliony dolarů. Zdroj: Pixabay.

Řešení

Pro zodpovězení otázky se používá definice podmíněné pravděpodobnosti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A a B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

B. Řešení

V tomto případě se události v definici vyměňují:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A a B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Všimněte si, že tato pravděpodobnost se mírně liší od předchozí, jak jsme již dříve zdůraznili.

Řešení c

Pravděpodobnost nezanechání času je 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, budeme to nazývat P (B ^C), protože je to doplňková událost, která má vzlétnout včas. Požadovaná podmíněná pravděpodobnost je:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A a B ^C) / P (B ^C)

Na druhou stranu:

P (A∩B ^C) = P (čas přistání) - P (čas přistání a čas vzletu) = 0,81-0,78 = 0,03

V tomto případě je požadovaná podmíněná pravděpodobnost:

P (A = ^B) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Reference

Canavos, G. 1988. Pravděpodobnost a statistika: Aplikace a metody. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědu. 8. Edice. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Pravděpodobnost. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teorie pravděpodobnosti. Redakční Limusa.
Walpole, R. 2007. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědy. Pearson.
Wikipedia. Podmíněná pravděpodobnost. Obnoveno z: es.wikipedia.org.

PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST: VZOREC A ROVNICE, VLASTNOSTI, PŘÍKLADY - DUDAS - 2025