TEORETICKÁ PRAVDĚPODOBNOST: JAK TO ZÍSKAT, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - DUDAS - 2025

Teoretický (nebo Laplaceova), pravděpodobnost, že událost E stává, že patří do vzorku prostoru S, ve které všechny události mají stejnou pravděpodobnost výskytu, je definován v matematickém zápisu, jako jsou: P (E) = N (E) / N (S)

Kde P (E) je pravděpodobnost daná jako podíl mezi celkovým počtem možných výsledků události E, které nazýváme n (E), děleno celkovým počtem N (S) možných výsledků ve vzorkovém prostoru S.

Obrázek 1. V házení šestihranné matrice je teoretická pravděpodobnost, že je tříbodová hlava nahoře, ⅙. Zdroj: Pixabay.

Teoretická pravděpodobnost je skutečné číslo mezi 0 a 1, ale často se vyjadřuje jako procento, v takovém případě bude pravděpodobnost mezi 0% a 100%.

Výpočet pravděpodobnosti výskytu události je velmi důležitý v mnoha oblastech, jako je obchodování, pojišťovny, hazardní hry a mnoho dalších.

Jak získat teoretickou pravděpodobnost?

Ilustrativní případ je případ tombol nebo loterií. Předpokládejme, že je vydáno 1 000 vstupenek na tombolování smartphonu. Vzhledem k tomu, že je losování provedeno náhodně, má kterákoli z tiketů stejnou šanci stát se vítězem.

Abychom zjistili pravděpodobnost, že osoba, která si koupí lístek s číslem 81, vyhraje, provede se tento teoretický výpočet pravděpodobnosti:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Výše uvedený výsledek je interpretován následovně: pokud by losování bylo opakováno nekonečně mnohokrát, každý 1000krát lístek 81 by byl vybrán v průměru jednou.

Pokud někdo z nějakého důvodu získá všechny vstupenky, je jisté, že vyhrají cenu. Pravděpodobnost výhry, pokud máte všechny vstupenky, se vypočítá takto:

P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.

To znamená, že pravděpodobnost 1 nebo 100% znamená, že je zcela jisté, že k tomuto výsledku dojde.

Pokud někdo vlastní 500 vstupenek, šance na výhru nebo prohru jsou stejné. Teoretická pravděpodobnost výhry v tomto případě se počítá takto:

P (500) = 500/1 000 = 1 = 0,5 = 50%.

Ten, kdo si nekoupí lístek, nemá šanci na výhru a jeho teoretická pravděpodobnost je stanovena následovně:

P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%

Příklady

Příklad 1

Máte minci s tváří na jedné straně a štítem nebo pečetí na straně druhé. Když se hodí mince, jaká je teoretická pravděpodobnost, že se objeví hlavy?

P (obličej) = n (obličej) / N (obličej + štít) = ½ = 0,5 = 50%

Výsledek je interpretován následovně: pokud by bylo provedeno velké množství házení, v průměru by každé 2 házení v průměru vyhodilo jednu z nich.

V procentech je interpretace výsledku taková, že při vytvoření nekonečně velkého počtu hodů by v průměru ze 100 z nich 50 vedlo k hlavám.

Příklad 2

V krabici jsou 3 modré kuličky, 2 červené kuličky a 1 zelená. Jaká je teoretická pravděpodobnost, že když vyndáte mramor z krabice, bude červená?

Obrázek 2. Pravděpodobnost extrakce barevných kuliček. Zdroj: F. Zapata.

Pravděpodobnost, že vyjde červeně, je:

P (červená) = počet příznivých případů / počet možných případů

To znamená:

P (červená) = počet červených kuliček / celkový počet kuliček

A konečně je pravděpodobnost, že bude nakreslen červený mramor, následující:

P (červená) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Pravděpodobnost, že při kreslení zeleného mramoru je:

P (zelená) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Konečně, teoretická pravděpodobnost získání modrého mramoru při slepé extrakci je:

P (modrá) = 3/6 = 1 = 0,5 = 50%

To znamená, že pro každé dva pokusy bude výsledek modrý v jednom z nich a další barva v jiném pokusu, za předpokladu, že extrahovaný mramor je nahrazen a že počet pokusů je velmi, velmi velký.

Cvičení

Cvičení 1

Určete pravděpodobnost, že válcování matrice získá hodnotu menší nebo rovnou 4.

Řešení

Pro výpočet pravděpodobnosti výskytu této události bude použita definice teoretické pravděpodobnosti:

P (≤4) = počet příznivých případů / počet možných případů

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Cvičení 2

Najděte pravděpodobnost, že na dvou po sobě jdoucích rolích normální šestiboké matrice se 5 otočí 2krát.

Řešení

Chcete-li odpovědět na toto cvičení, vytvořte tabulku, která ukáže všechny možnosti. První číslice označuje výsledek první formy a druhá výsledek druhé formy.

Pro výpočet teoretické pravděpodobnosti potřebujeme znát celkový počet možných případů, v tomto případě, jak je vidět z předchozí tabulky, existuje 36 možností.

Při pozorování tabulky lze také odvodit, že počet případů příznivých pro událost, která vychází ze dvou po sobě jdoucích vypuštění, je pouze 1, zvýrazněný barvou, proto pravděpodobnost, že k této události dojde, je:

P (5 x 5) = 1/36.

K tomuto výsledku by také mohlo dojít při použití jedné z vlastností teoretické pravděpodobnosti, která uvádí, že kombinovaná pravděpodobnost dvou nezávislých událostí je výsledkem jejich jednotlivých pravděpodobností.

V tomto případě je pravděpodobnost, že první hod bude 5, ⅙. Druhý hod je zcela nezávislý na prvním, proto je také pravděpodobnost, že 5 se převalí ve druhém, ⅙. Kombinovaná pravděpodobnost je tedy:

P (5 x 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Cvičení 3

Najděte pravděpodobnost, že na první hod se hodí číslo menší než 2 a na druhou hodí číslo větší než 2.

Řešení

Znovu musí být vytvořena tabulka možných událostí, kde jsou podtrženy ty, ve kterých byl první hod menší než 2 a ve druhém větší než 2.

Celkem jsou 4 možnosti z celkem 36. To znamená, že pravděpodobnost této události je:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Použití věty o pravděpodobnosti, která uvádí:

Stejného výsledku se dosáhne:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Hodnota získaná tímto postupem se shoduje s předchozím výsledkem pomocí teoretické nebo klasické definice pravděpodobnosti.

Cvičení 4

Jaká je pravděpodobnost, že při házení dvou kostek je součet hodnot 7.

Řešení

Pro nalezení řešení v tomto případě byla vypracována tabulka možností, ve kterých jsou případy, které splňují podmínku, že součet hodnot je 7, označeny barevně.

Při pohledu na tabulku lze spočítat 6 možných případů, takže pravděpodobnost je:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Reference

1. Canavos, G. 1988. Pravděpodobnost a statistika: Aplikace a metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědu. 8. Edice. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Pravděpodobnost. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorie pravděpodobnosti. Redakční Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědy. Pearson.