POLYTROPICKÝ PROCES: CHARAKTERISTIKA, APLIKACE A PŘÍKLADY - FYZICKÝ - 2025

Polytropické proces je termodynamický proces, ke kterému dochází, když je vztah mezi tlakem P a objemu V dán PV ⁿ se udržuje konstantní. Exponent n je reálné číslo, obvykle mezi nulou a nekonečnem, ale v některých případech může být záporné.

Hodnota n se nazývá index polytropie a je důležité si uvědomit, že během polytropického termodynamického procesu musí uvedený index udržovat pevnou hodnotu, jinak nebude tento proces považován za polytropický.

Obrázek 1. Charakteristická rovnice polytropického termodynamického procesu. Zdroj: F. Zapata.

Charakteristika polytropických procesů

Některé charakteristické případy polytropických procesů jsou:

- Izotermický proces (při konstantní teplotě T), ve kterém je exponent n = 1.

- Izobarický proces (při konstantním tlaku P), v tomto případě n = 0.

- Izochorický proces (při konstantním objemu V), pro který n = + ∞.

- Adiabatické procesy (při konstantní S entropii), ve kterých exponentem je n = γ, kde γ je adiabatická konstanta. Tato konstanta je podíl mezi tepelnou kapacitou při konstantním tlaku Cp dělenou tepelnou kapacitou při konstantním objemu Cv:

y = Cp / Cv

- Jakýkoli jiný termodynamický proces, který není jedním z předchozích případů. ale to splňuje PV ⁿ = ctte se skutečným a konstantním polytropickým indexem n bude také polytropický proces.

Obrázek 2. Různé charakteristické případy polytropických termodynamických procesů. Zdroj: Wikimedia Commons.

Aplikace

Jednou z hlavních aplikací polytropické rovnice je výpočet práce prováděné uzavřeným termodynamickým systémem, když přechází z počátečního stavu do konečného stavu kvázistatickým způsobem, tj. Po sledu rovnovážných stavů.

Práce na polytropických procesech pro různé hodnoty n

Pro n ≠ 1

Mechanická práce W prováděná uzavřeným termodynamickým systémem se počítá podle vzorce:

W = ∫P.dV

Kde P je tlak a V je objem.

Stejně jako v případě polytropického procesu je vztah mezi tlakem a objemem:

Mechanickou práci provádíme během polytropického procesu, který začíná v počátečním stavu 1 a končí v konečném stavu 2. To vše se objeví v následujícím výrazu:

C = P ₁ V ₁ ^N = P ₂ V ₂ ⁿ

Nahrazením hodnoty konstanty v pracovním výrazu získáme:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

V případě, že pracovní látku lze modelovat jako ideální plyn, máme následující stavovou rovnici:

PV = mRT

Kde m je počet molů ideálního plynu a R je univerzální plynová konstanta.

U ideálního plynu, který následuje po polytropické proces s indexem polytropy liší od jednoty a, která prochází od stavu, s počáteční teplotou T ₁ do jiného stavu s teplotou T ₂, vykonaná práce je dán následujícím vzorcem:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

Pro n → ∞

Podle vzorce pro práci získanou v předchozí části máme za to, že práce polytropického procesu s n = ∞ je nulová, protože vyjádření díla je děleno nekonečnem, a proto výsledek inklinuje k nule.

Dalším způsobem, jak dospět k tomuto výsledku, je začít ze vztahu P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, který lze přepsat následovně:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Vezme-li n-tý kořen v každém členu, získáme:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

V případě, že n? ∞, máme (V ₂ / V1) = 1, což znamená, že:

V ₂ = V ₁

To znamená, že se objem v polytropním procesu nemění s n → ∞. Proto je objemový rozdíl dV v integrální části mechanické práce 0. Tento typ polytropických procesů je známý také jako izochorické procesy nebo procesy s konstantním objemem.

Pro n = 1

Znovu máme výraz výraz pro práci:

W = ∫P dV

V případě polytropického procesu s n = 1 je vztah mezi tlakem a objemem:

PV = konstanta = C

Řešením P z předchozího výrazu a nahrazením máme udělat práci, abychom se dostali z počátečního stavu 1 do konečného stavu 2:

To znamená:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Vzhledem k tomu, že počáteční a konečné stavy jsou dobře předurčené, bude to také ctte. To znamená:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Nakonec máme následující užitečné výrazy, abychom našli mechanickou práci uzavřeného polytropického systému, ve kterém n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ IN (V ₂ / V ₁)

Pokud pracovní látka sestává z molů ideálního plynu, lze použít ideální stavovou rovnici plynu: PV = mRT

V tomto případě, protože PV ₁ = ctte, máme, že polytropický proces s n = 1 je proces při konstantní teplotě T (izotermální), takže lze pro práci získat následující výrazy:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Obrázek 3. Tavící rampouch, příklad izotermického procesu. Zdroj: Pixabay.

Příklady polytropických procesů

- Příklad 1

Předpokládejme válec s pohyblivým pístem naplněným jedním kilogramem vzduchu. Zpočátku vzduch zaujímá objem V ₁ = 0,2 m ³ při tlaku P ₁ = 400 kPa. Polytropické proces následuje s n = γ = 1.4, jehož konečný stav má tlak P ₂ = 100 kPa. Určete práci provedenou vzduchem na pístu.

Řešení

Když je index polytropy roven adiabatické konstantě, existuje proces, ve kterém pracovní látka (vzduch) nevyměňuje teplo s okolím, a proto se entropie nemění.

Pro vzduch, ideální diatomický plyn, máme:

y = Cp / Cv, s Cp = (7/2) R a Cv = (5/2) R

Tak:

y = 7/5 = 1,4

Pomocí vyjádření polytropického procesu lze stanovit konečný objem vzduchu:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Nyní máme podmínky pro použití vzorce práce provedené v polytropickém procesu pro n ≠ 1 získané výše:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Nahrazení příslušných hodnot, které máme:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Příklad 2

Předpokládejme stejný válec z příkladu 1, s pohyblivým pístem naplněným jedním kilogramem vzduchu. Zpočátku vzduch zabírá objem V1 = 0,2 m ³ při tlaku P1 = 400 kPa. Na rozdíl od předchozího případu se však vzduch izotermicky rozpíná, aby dosáhl konečného tlaku P2 = 100 kPa. Určete práci provedenou vzduchem na pístu.

Řešení

Jak jsme viděli dříve, izotermální procesy jsou polytropické procesy s indexem n = 1, takže je pravda, že:

P1 V1 = P2 V2

Tímto způsobem lze konečný objem snadno oddělit a získat:

V2 = 0,8 m ³

Potom, s použitím pracovního výrazu získaného dříve pro případ n = 1, máme, že práce prováděná vzduchem na pístu v tomto procesu je:

W = P1V1n (V2 / V1) = 400000 Pa x 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro strojírenství a vědy. Svazek 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodynamika. 7. vydání. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 4. Kapaliny a termodynamika. Editoval Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. První termodynamický zákon. Obnoveno z: Culturativeifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fyzika pro vědce a inženýrství: strategický přístup. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Základy fyziky. 9. vydání Cengage Learning.
7. Sevilla University. Tepelné stroje. Obnoveno z: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropický proces. Obnoveno z: wikiwand.com.